Les limites de fonctions

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1
Démontre que la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe de $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$ en $+\infty$ .
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On étudie l'écart entre la courbe et la droite : $f(x) - 2 = \dfrac{2x + 3 - 2(x-1)}{x - 1} = \dfrac{5}{x - 1}$ .
Quand $x$ tend vers $+\infty$ , ce quotient tend vers 0 : la distance verticale entre la courbe et la droite devient aussi petite que l'on veut.
La droite $y = 2$ est donc asymptote horizontale. L'écart est de plus toujours strictement positif : la courbe reste au-dessus de son asymptote.
2
Démontre que la courbe de $g(x) = \sqrt{x^2 + x}$ admet la droite d'équation $y = x + \dfrac{1}{2}$ pour asymptote oblique en $+\infty$ .
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Il s'agit de montrer que l'écart $g(x) - \left(x + \dfrac{1}{2}\right)$ tend vers 0. Commençons par calculer $g(x) - x$ , qui est une forme indéterminée du type infini moins infini : on multiplie par la quantité conjuguée.
$g(x) - x = \dfrac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$ . Pour $x$ positif, $\sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ , donc en factorisant par $x$ : $g(x) - x = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$ , qui tend vers $\dfrac{1}{2}$ .
L'écart avec la droite vaut donc $g(x) - x - \dfrac{1}{2}$ , qui tend vers $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$ . La droite est bien asymptote oblique.
3
Détermine la limite de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ quand $x$ tend vers 4.
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4
Démontre que la droite d'équation $y = x$ est asymptote oblique à la courbe de $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ en $+\infty$ .
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5
Détermine la limite de $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .
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6
Explique pourquoi la limite d'un quotient de deux polynômes à l'infini se ramène au quotient de leurs termes de plus haut degré.
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7
Détermine la limite de $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ quand $x$ tend vers 2.
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8
Détermine les limites de $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$ aux bornes de son ensemble de définition.
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9
Démontre que la fonction $f(x) = \dfrac{\cos(x)}{x}$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$ .
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10
Une courbe admet la droite d'équation $y = 3$ pour asymptote horizontale en $+\infty$ . Explique si elle peut couper cette droite.
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