Le logarithme décimal

🟠 Difficile

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1
Détermine le nombre de chiffres de $2^{100}$ en écriture décimale.
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Un entier $N$ possède $k$ chiffres lorsque $10^{k-1} \leqslant N \lt 10^{k}$ , c'est-à-dire lorsque $k - 1 \leqslant \log(N) \lt k$ : le nombre de chiffres est donc la partie entière du logarithme, plus un.
$\log\left(2^{100}\right) = 100\log(2) \approx 100 \times 0{,}30103 = 30{,}103$ .
Sa partie entière vaut 30, donc $2^{100}$ possède 31 chiffres. On obtient ce résultat sans jamais calculer le nombre lui-même.
2
Le pH d'une solution vaut $-\log(h)$ , où $h$ est la concentration en ions hydrogène, en mol/L. Calcule le pH d'une solution pour laquelle $h = 10^{-4}$ .
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On applique la formule : $\text{pH} = -\log\left(10^{-4}\right)$ .
Or le logarithme d'une puissance de 10 est son exposant, donc $\log\left(10^{-4}\right) = -4$ .
Le pH vaut donc 4. C'est une solution acide, puisque le pH est inférieur à 7.
3
Explique pourquoi une baisse d'une unité de pH correspond à une concentration multipliée par 10.
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4
Le niveau sonore en décibels vaut $L = 10\log\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$ . Calcule le niveau correspondant à une intensité $I = 10^{6}\,I_{0}$ .
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5
Détermine de combien de décibels le niveau sonore augmente lorsque l'intensité est multipliée par 2.
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6
Résous l'équation $\log(x) + \log(x - 15) = 2$ .
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7
Détermine le plus petit entier $n$ tel que $1{,}03^{n} \gt 2$ .
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8
Sur l'échelle de Richter, l'amplitude d'un séisme est multipliée par 10 à chaque unité de magnitude. Détermine le rapport des amplitudes entre un séisme de magnitude 7 et un séisme de magnitude 4.
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9
Démontre la relation $\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$ .
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10
Détermine le nombre de chiffres de $3^{50}$ en écriture décimale.
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