Le logarithme décimal

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1
Démontre la relation $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ pour $a$ et $b$ strictement positifs.
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Posons $u = \log(a)$ et $v = \log(b)$ , ce qui signifie $a = 10^{u}$ et $b = 10^{v}$ .
Alors $ab = 10^{u} \times 10^{v} = 10^{u+v}$ , d'après la règle des puissances.
Par définition du logarithme décimal, $\log(ab) = u + v = \log(a) + \log(b)$ . Toutes les règles du logarithme décimal se démontrent ainsi, à partir de celles des puissances de 10.
2
Détermine le nombre de chiffres de $2^{1000}$ en écriture décimale.
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Le nombre de chiffres est la partie entière du logarithme décimal, plus un.
$\log\left(2^{1000}\right) = 1000\log(2) \approx 1000 \times 0{,}301030 = 301{,}030$ .
Sa partie entière vaut 301, donc $2^{1000}$ possède 302 chiffres. Aucune calculatrice ordinaire ne peut afficher ce nombre, et pourtant trois lignes de calcul suffisent à le décrire.
3
Une population double tous les 20 ans. Détermine le taux annuel de croissance, arrondi au centième de pour cent.
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4
Un son passe de 50 à 80 décibels. Détermine le rapport entre les deux intensités sonores.
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5
Résous l'inéquation $0{,}8^{n} \lt 0{,}01$ , où $n$ est un entier naturel.
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6
Explique l'intérêt d'une échelle logarithmique pour représenter des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur.
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7
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = \log\left(x^{2} + 1\right)$ .
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8
Le pH de l'eau pure vaut 7. Calcule la concentration correspondante en ions hydrogène, puis celle d'une solution de pH 3, et compare-les.
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9
Détermine le premier chiffre de l'écriture décimale de $2^{100}$ , à l'aide de son logarithme décimal.
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10
Démontre que les fonctions logarithme décimal et logarithme népérien ont le même sens de variation et s'annulent au même point.
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