Le logarithme népérien

On commence par l'ensemble de définition : il faut $x \gt 0$ et $x - 3 \gt 0$, donc $x \gt 3$.
On regroupe : $\ln\left(x(x-3)\right) = \ln(10)$. Le logarithme étant strictement croissant, cela équivaut à $x^{2} - 3x = 10$, soit $x^{2} - 3x - 10 = 0$.
Le discriminant vaut $9 + 40 = 49$, donc les racines sont 5 et $-2$. Seule 5 appartient à l'ensemble de définition : la solution est $x = 5$. Négliger la condition initiale ferait accepter une solution qui n'en est pas une.

On applique la formule du quotient : $f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln(x) \times 1}{x^{2}} = \dfrac{1 - \ln(x)}{x^{2}}$.
Le dénominateur est strictement positif, donc le signe est celui de $1 - \ln(x)$ : positif tant que $\ln(x) \lt 1$, c'est-à-dire $x \lt e$, et négatif ensuite.
La fonction croît donc sur $]0 ; e]$ puis décroît sur $[e ; +\infty[$. Son maximum vaut $f(e) = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}37$.