Le logarithme népérien

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1
Démontre la relation $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ à partir de la règle $e^{u+v} = e^{u}e^{v}$ .
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Posons $u = \ln(a)$ et $v = \ln(b)$ , ce qui est possible car $a$ et $b$ sont strictement positifs. On a alors $e^{u} = a$ et $e^{v} = b$ .
Donc $ab = e^{u} \times e^{v} = e^{u+v}$ .
En appliquant le logarithme : $\ln(ab) = u + v = \ln(a) + \ln(b)$ . Toutes les règles du logarithme se démontrent ainsi, en remontant aux règles de l'exponentielle.
2
Étudie la fonction $f(x) = x - \ln(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ et détermine son minimum.
Voir le corrigéoffert
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$ . Le dénominateur étant positif, le signe est celui de $x - 1$ .
La fonction décroît donc sur $]0 ; 1]$ puis croît sur $[1 ; +\infty[$ : il s'agit bien d'un minimum.
Il vaut $f(1) = 1 - 0 = 1$ . On en déduit que $x - \ln(x) \geqslant 1$ pour tout $x$ strictement positif, autre écriture de l'inégalité $\ln(x) \leqslant x - 1$ .
3
Résous l'équation $\left(\ln(x)\right)^{2} - 3\ln(x) + 2 = 0$ .
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4
Détermine la limite de $\dfrac{\ln(1 + x)}{x}$ quand $x$ tend vers 0.
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5
Calcule la dérivée de la fonction $f(x) = \ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right)$ sur $]0 ; +\infty[$ .
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6
Démontre que les courbes de la fonction exponentielle et du logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .
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7
Une population diminue de 3 % par an. Détermine le nombre d'années nécessaires pour qu'elle soit réduite de moitié.
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8
Démontre que la dérivée du logarithme népérien vaut $\dfrac{1}{x}$ , en dérivant la relation $e^{\ln(x)} = x$ .
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9
Détermine les variations de la fonction $f(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right)$ .
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10
Démontre que la fonction $f(x) = \ln(x) - \sqrt{x}$ est strictement décroissante sur $[4 ; +\infty[$ .
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