Logique et raisonnement

🟠 Difficile

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1
Montre par l'absurde que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.
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Supposons le contraire : $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec la fraction irréductible.
Alors $p^2 = 2q^2$ , donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair.
Écrivons $p = 2k$ : alors $4k^2 = 2q^2$ , soit $q^2 = 2k^2$ , et $q$ est pair aussi.
Mais $p$ et $q$ tous deux pairs contredit l'irréductibilité.
La supposition est donc absurde : $\sqrt{2}$ est irrationnel.
2
Écris la contraposée de : « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ».
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Contraposée : « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair ».
Une proposition et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses ensemble : démontrer l'une démontre l'autre.
Ici la contraposée est facile : $(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1$ , qui est impair.
3
Montre par disjonction de cas que $n^2 + n + 1$ est toujours impair.
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4
La proposition « si $ab = 0$ alors $a = 0$ et $b = 0$ » est-elle vraie ?
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5
Écris la négation de : « pour tout $x$ , il existe $y$ tel que $y > x$ ».
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6
Démontre que si $n$ est impair, alors $n^2 - 1$ est divisible par 8.
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7
La proposition « $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ » est-elle vraie ? Et « $x = 2 \Rightarrow x^2 = 4$ » ?
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8
Résous $x^2 = 4$ en justifiant chaque étape par une équivalence.
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9
Pourquoi démontrer la contraposée revient-il à démontrer la proposition ?
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10
Montre qu'il n'existe pas de plus grand nombre premier, en indiquant le type de raisonnement utilisé.
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