Logique et raisonnement

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1
Montre par l'absurde qu'il n'existe pas d'entiers $a$ et $b$ non nuls tels que $a^2 = 2b^2$ .
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Supposons une telle égalité, avec la fraction $\frac{a}{b}$ prise irréductible.
Alors $a^2$ est pair, donc $a$ est pair, donc $a = 2k$ et $4k^2 = 2b^2$ , soit $b^2 = 2k^2$ .
Donc $b$ est pair aussi, ce qui contredit l'irréductibilité.
Il n'existe donc pas de tels entiers, ce qui est une autre façon d'énoncer l'irrationalité de $\sqrt{2}$ .
2
Écris la contraposée et la réciproque de : « si un entier est divisible par 6, alors il est divisible par 3 ». Lesquelles sont vraies ?
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Contraposée : « si un entier n'est pas divisible par 3, alors il n'est pas divisible par 6 ». Vraie, comme la proposition.
Réciproque : « si un entier est divisible par 3, alors il est divisible par 6 ». Fausse : 9 est divisible par 3 et non par 6.
La contraposée est toujours équivalente à la proposition ; la réciproque, jamais automatiquement.
3
Démontre par disjonction de cas que pour tout entier $n$ , $n^3 - n$ est divisible par 3.
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4
La proposition « si $x$ et $y$ sont irrationnels, alors $x + y$ est irrationnel » est-elle vraie ?
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5
Écris la négation de : « il existe un entier $n$ tel que pour tout entier $m$ , $nm = m$ ».
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6
Pourquoi l'ordre des quantificateurs change-t-il le sens d'une proposition ?
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7
Résous $\frac{1}{x} < 1$ en justifiant la disjonction de cas nécessaire.
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8
Montre que la proposition « pour tout entier $n$ , $n^2 + n + 41$ est premier » est fausse, et explique pourquoi quarante vérifications ne suffisaient pas.
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9
Qu'est-ce qu'un raisonnement par récurrence, et pourquoi fonctionne-t-il ?
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10
Pourquoi la logique est-elle enseignée en même temps que les équations, et non à part ?
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