La loi binomiale

🟠 Difficile

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1
Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p = 0{,}5$ . Calcule $P(X \leqslant 2)$ .
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$P(X=0) = \frac{1}{64}$ , $P(X=1) = \frac{6}{64}$ , $P(X=2) = \frac{15}{64}$ , car $\binom{6}{0} = 1$ , $\binom{6}{1} = 6$ et $\binom{6}{2} = 15$ .
La somme vaut $\frac{22}{64} = \frac{11}{32} \approx 0{,}344$ .
Par symétrie, $P(X \geqslant 4)$ vaut la même chose, et $P(X = 3) = \frac{20}{64}$ complète bien à 1.
2
Un QCM comporte 10 questions à 4 réponses dont une seule est juste. Un élève répond au hasard. Calcule la probabilité qu'il ait exactement 3 bonnes réponses.
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On a $n = 10$ et $p = 0{,}25$ .
$P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^7 = 120 \times 0{,}015\,625 \times 0{,}133\,48$ .
Le produit vaut environ $0{,}250$ : c'est la valeur la plus probable, cohérente avec une espérance de $2{,}5$ .
3
Avec le même QCM de 10 questions à 4 réponses, calcule la probabilité que l'élève ait au moins une bonne réponse.
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4
Une machine produit 3 % de pièces défectueuses. On prélève 50 pièces. Calcule la probabilité qu'aucune ne soit défectueuse, puis qu'il y en ait au plus une.
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5
Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}2$ , et son espérance vaut 8. Détermine $n$ , puis calcule $P(X = 0)$ .
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6
On lance un dé 12 fois. Calcule la probabilité d'obtenir exactement deux 6.
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7
Un vaccin est efficace dans 90 % des cas. On vaccine 20 personnes. Calcule la probabilité qu'au moins 19 soient protégées.
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8
Détermine le nombre minimal de lancers d'une pièce équilibrée pour que la probabilité d'obtenir au moins un pile dépasse $0{,}99$ .
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9
Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 7$ et $p$ . On sait que $P(X = 0) = P(X = 7)$ . Détermine $p$ .
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10
Compare, pour $n = 10$ et $p = 0{,}5$ , les probabilités $P(X = 5)$ et $P(X = 4)$ , et explique pourquoi la première est la plus grande.
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