La loi binomiale

Démontre que $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ par un argument de comptage, sans calcul.

Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}1$. Détermine la valeur de $k$ la plus probable, en comparant $P(X = k+1)$ et $P(X = k)$.

Un atelier produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. Détermine la taille minimale d'un prélèvement pour que la probabilité d'y trouver au moins une pièce défectueuse dépasse $0{,}95$.

Démontre que l'espérance d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ vaut $np$, en décomposant la variable en somme de variables de Bernoulli.

Un joueur a une chance sur 6 de gagner à chaque partie. Calcule la probabilité qu'il gagne au moins une fois en 6 parties, puis en 12 parties, et commente l'idée répandue selon laquelle « six essais garantissent une victoire ».

Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0{,}5$. Calcule l'espérance et l'écart type, puis donne un intervalle contenant environ 95 % des valeurs.

Deux élèves répondent au hasard à un QCM de 5 questions à 3 réponses. Calcule la probabilité qu'ils obtiennent tous les deux au moins 3 bonnes réponses.

Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = \frac{1}{2}$. Démontre que $P(X = k) = P(X = n-k)$ pour tout $k$.

Un test d'hypothèse : on soupçonne une pièce d'être truquée. On la lance 50 fois et on obtient 33 piles. Calcule l'espérance et l'écart type sous l'hypothèse d'équilibre, puis dis si le résultat est surprenant.

Une urne contient 1 000 boules dont 300 rouges. On en tire 5 sans remise. Explique pourquoi on peut utiliser la loi binomiale, et estime l'erreur commise.