La loi binomiale

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1
Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}5$ . Calcule $P(X = 2)$ .
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La formule donne $P(X = 2) = \binom{4}{2} \times 0{,}5^2 \times 0{,}5^2$ .
$\binom{4}{2} = 6$ , donc $P(X = 2) = 6 \times 0{,}25 \times 0{,}25 = 6 \times 0{,}062\,5 = 0{,}375$ .
C'est la valeur la plus probable, ce qui est cohérent avec une espérance de 2.
2
Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}3$ . Calcule $P(X = 1)$ .
Voir le corrigéoffert
$P(X = 1) = \binom{5}{1} \times 0{,}3^1 \times 0{,}7^4$ .
$\binom{5}{1} = 5$ et $0{,}7^4 = 0{,}240\,1$ , donc $P(X = 1) = 5 \times 0{,}3 \times 0{,}240\,1 = 0{,}360\,15$ .
La probabilité vaut environ $0{,}360$ .
3
On lance 8 fois une pièce équilibrée. Calcule la probabilité d'obtenir au moins un pile.
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4
Explique ce que compte le coefficient binomial dans la formule de la loi binomiale.
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5
Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0{,}2$ . Calcule $P(X = 0)$ et $P(X \geqslant 1)$ .
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6
Un contrôle qualité teste 15 pièces prises au hasard dans une production contenant 4 % de défauts. Donne les paramètres de la loi suivie par le nombre de pièces défectueuses, et calcule l'espérance.
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7
Calcule $\binom{5}{2}$ et $\binom{5}{3}$ , puis commente le résultat.
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8
Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0{,}4$ . Dresse sa loi de probabilité complète.
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9
On répète 100 fois une épreuve de probabilité de succès $0{,}35$ . Calcule l'espérance du nombre de succès et l'écart type, sachant que la variance vaut $np(1-p)$ .
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10
Dis si le nombre de filles dans une famille de 4 enfants peut être modélisé par une loi binomiale, et à quelles conditions.
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