Médiane, étendue et quartiles

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1
Construis une série de 8 nombres entiers positifs dont la médiane vaut 10, le premier quartile 6, le troisième quartile 15 et l'étendue 20.
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Avec 8 valeurs : $Q_1$ est de rang 2, la médiane la demi-somme des rangs 4 et 5, $Q_3$ de rang 6.
Prenons $x_2 = 6$ et $x_6 = 15$ . Pour une médiane de 10, on peut prendre $x_4 = 9$ et $x_5 = 11$ . Il reste $x_1$ , $x_3$ , $x_7$ , $x_8$ à placer en respectant l'ordre, avec une étendue de 20.
La série 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 11 ; 15 ; 20 ; 24 convient : $Q_1 = 6$ , médiane $\frac{9+11}{2} = 10$ , $Q_3 = 15$ , étendue $24 - 4 = 20$ . D'autres solutions existent, car seules quatre contraintes portent sur huit valeurs.
2
Une série de $n$ valeurs distinctes a pour médiane $m$ . On remplace la plus grande valeur par un nombre encore plus grand. Démontre que la médiane est inchangée, en distinguant les cas $n$ pair et $n$ impair.
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Remplacer la plus grande valeur par une valeur plus grande encore ne modifie aucun rang : la série reste rangée dans le même ordre, et seule la dernière valeur change.
Si $n$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\frac{n+1}{2}$ . Comme $n \geqslant 3$ dès qu'il y a une plus grande valeur distincte, ce rang est strictement inférieur à $n$ : la médiane n'est pas touchée.
Si $n$ est pair, la médiane est la demi-somme des rangs $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2} + 1$ , tous deux strictement inférieurs à $n$ dès que $n \geqslant 4$ : elle n'est pas touchée non plus. C'est exactement la robustesse de la médiane.
3
Deux séries A et B ont respectivement 30 et 70 valeurs, de médianes 10 et 20. Explique pourquoi la médiane de la série réunie n'est pas calculable à partir de ces seules données, et donne deux exemples donnant des médianes différentes.
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4
Dans une série de 100 valeurs, l'écart interquartile vaut 8 et l'étendue 60. Détermine ce que l'on peut affirmer sur le quart inférieur et le quart supérieur de la série, et dessine la boîte à moustaches correspondante en prenant $Q_1 = 20$ .
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5
Un professeur affirme : « la moitié de la classe a plus que la moyenne ». Explique pourquoi cette affirmation confond deux indicateurs, et donne une série de 5 notes où elle est fausse.
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6
Une série de 80 valeurs est groupée en classes d'amplitude 10, avec les effectifs cumulés croissants 12 ; 34 ; 58 ; 80 pour les classes $[0\,;\,10[$ , $[10\,;\,20[$ , $[20\,;\,30[$ et $[30\,;\,40[$ . Estime la médiane par interpolation linéaire à l'intérieur de sa classe.
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7
Soit une série de nombres rangés. On cherche le réel $c$ qui rend la somme des distances $|x_i - c|$ la plus petite possible. Montre sur la série 1 ; 4 ; 9 que la médiane fait mieux que la moyenne.
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8
Deux boîtes à moustaches représentent les notes de deux classes. Pour la 3ᵉ A : minimum 6, $Q_1 = 10$ , médiane 12, $Q_3 = 14$ , maximum 18. Pour la 3ᵉ B : minimum 2, $Q_1 = 8$ , médiane 12, $Q_3 = 16$ , maximum 20. Compare les deux classes.
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9
Une série de 11 valeurs est 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18. Calcule son étendue et son écart interquartile, puis recommence après avoir remplacé la dernière valeur par 180. Conclus.
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10
Une série de 8 nombres rangés commence par 3 ; 5 ; $a$ ; 9 et se termine par 11 ; $b$ ; 17 ; 20. On sait que la médiane vaut 10 et que le troisième quartile vaut 13. Détermine $a$ et $b$ , et dis si la solution est unique.
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