Nombre dérivé et tangente

🟠 Difficile

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1
Démontre, en passant par la limite du taux de variation, que la dérivée de $f(x) = x^2$ est $2x$ .
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Le taux de variation entre $x$ et $x + h$ vaut $\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ .
On développe le numérateur : $x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2 = h(2x + h)$ . Après simplification par $h$ , non nul, le taux vaut $2x + h$ .
Quand $h$ se rapproche de 0, ce taux se rapproche de $2x$ . Donc $f'(x) = 2x$ .
2
Détermine l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ au point d'abscisse 2, sachant que $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ .
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On calcule $f(2) = \dfrac{1}{2}$ et $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$ .
L'équation s'écrit $y = -\dfrac{1}{4}(x - 2) + \dfrac{1}{2}$ .
En développant : $y = -\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$ , soit $y = -\dfrac{x}{4} + 1$ .
3
Détermine les abscisses des points où la courbe de $f(x) = x^2 - 6x + 5$ admet une tangente horizontale, sachant que $f'(x) = 2x - 6$ .
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4
Une fonction $f$ vérifie $f(2) = 5$ et $f'(2) = -3$ . Détermine l'équation de sa tangente au point d'abscisse 2.
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5
Calcule le nombre dérivé de $f(x) = \sqrt{x}$ en 4, sachant que $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
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6
Explique pourquoi la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
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7
Détermine l'abscisse du point où la tangente à la courbe de $f(x) = x^2$ a pour coefficient directeur 10.
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8
Un mobile se déplace sur un axe, sa position en mètres à l'instant $t$ étant $x(t) = t^2$ . Détermine sa vitesse instantanée à $t = 3$ secondes.
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9
Démontre que la tangente à la courbe de $f(x) = x^2$ au point d'abscisse 0 est l'axe des abscisses.
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10
Détermine l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^3 - 3x$ au point d'abscisse $-1$ , sachant que $f'(x) = 3x^2 - 3$ .
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