Nombre dérivé et tangente

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1
Démontre, en passant par le taux de variation, que la dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$ .
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Le taux de variation entre $x$ et $x + h$ vaut $\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}\right)$ .
Au même dénominateur : $\dfrac{1}{h} \times \dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \dfrac{1}{h} \times \dfrac{-h}{x(x+h)} = \dfrac{-1}{x(x+h)}$ .
Quand $h$ se rapproche de 0, le dénominateur se rapproche de $x^2$ . Donc $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ , toujours négatif : la fonction inverse est décroissante sur chacun de ses intervalles.
2
Démontre que la dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x \gt 0$ .
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Le taux de variation vaut $\dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$ , ce qui est une forme indéterminée.
On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{x+h} + \sqrt{x}$ : le numérateur devient $(x+h) - x = h$ , et le taux vaut $\dfrac{h}{h\left(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$ .
Quand $h$ se rapproche de 0, le dénominateur se rapproche de $2\sqrt{x}$ . Donc $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . On voit au passage pourquoi la fonction n'est pas dérivable en 0 : le dénominateur s'y annulerait.
3
Détermine les équations des tangentes à la courbe de $f(x) = x^2$ qui passent par le point $A(0 ; -1)$ .
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4
Démontre que deux tangentes à la courbe de $f(x) = x^2$ en des points d'abscisses opposées non nulles se coupent sur l'axe des ordonnées.
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5
Détermine les valeurs de $m$ pour lesquelles la droite d'équation $y = mx$ est tangente à la courbe de $f(x) = x^2 + 1$ .
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6
Explique la différence entre le taux de variation et le nombre dérivé.
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7
La courbe de $f$ passe par le point $A(1 ; 2)$ , et sa tangente en $A$ passe aussi par le point $B(3 ; 8)$ . Détermine $f'(1)$ .
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8
Démontre que la tangente à la courbe de $f(x) = x^3$ au point d'abscisse 0 traverse la courbe.
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9
Détermine une valeur approchée de $\sqrt{4{,}04}$ à l'aide de la tangente à la courbe de la fonction racine carrée au point d'abscisse 4.
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10
Démontre que toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ .
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