Les primitives

🟠 Difficile

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1
Donne une primitive de la fonction $f(x) = 2x\,e^{x^{2}}$ .
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On reconnaît la forme $u'e^{u}$ , avec $u(x) = x^{2}$ et $u'(x) = 2x$ .
Or la dérivée de $e^{u}$ vaut précisément $u'e^{u}$ .
Une primitive est donc $F(x) = e^{x^{2}}$ , ce que l'on vérifie immédiatement en dérivant.
2
Donne une primitive de la fonction $f(x) = \dfrac{2x}{x^{2}+1}$ .
Voir le corrigéoffert
On reconnaît la forme $\dfrac{u'}{u}$ , avec $u(x) = x^{2}+1$ et $u'(x) = 2x$ .
Or la dérivée de $\ln(u)$ vaut $\dfrac{u'}{u}$ , à condition que $u$ soit strictement positif, ce qui est le cas ici.
Une primitive est donc $F(x) = \ln\left(x^{2}+1\right)$ .
3
Donne une primitive de la fonction $f(x) = (2x+1)^{3}$ .
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4
Détermine la primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ qui vaut 2 en 1.
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5
Donne une primitive de la fonction $f(x) = \dfrac{3}{3x-1}$ sur un intervalle où $3x - 1$ est strictement positif.
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6
Donne une primitive de la fonction $f(x) = x\sqrt{x}$ sur $[0 ; +\infty[$ .
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7
Démontre que si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle, alors $F + k$ en est une aussi pour toute constante $k$ .
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8
Donne une primitive de la fonction $f(x) = \sin(2x)$ .
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9
Donne une primitive de la fonction $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .
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10
Explique pourquoi toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.
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