Les primitives

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1
Détermine la primitive de $f(x) = e^{-x}$ qui s'annule en 0.
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La dérivée de $e^{-x}$ vaut $-e^{-x}$ , donc une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ .
Les primitives sont donc les fonctions $F(x) = -e^{-x} + k$ . La condition $F(0) = 0$ donne $-1 + k = 0$ , donc $k = 1$ .
La primitive cherchée est $F(x) = 1 - e^{-x}$ . Elle croît de 0 vers 1 : c'est la forme typique d'une charge de condensateur.
2
Donne une primitive de la fonction $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ .
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On reconnaît la forme $u'u$ , avec $u(x) = \ln(x)$ et $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ .
Or une primitive de $u'u$ est $\dfrac{u^{2}}{2}$ .
Une primitive est donc $F(x) = \dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{2}$ . Vérification : sa dérivée vaut $\dfrac{2\ln(x)}{2} \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln(x)}{x}$ .
3
Donne une primitive de la fonction $f(x) = x\,e^{x}$ .
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4
Détermine les réels $a$ et $b$ tels que $F(x) = (ax+b)e^{x}$ soit une primitive de $f(x) = (2x+1)e^{x}$ .
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5
Donne une primitive de la fonction $f(x) = \dfrac{1}{(x+2)^{2}}$ sur $]-2 ; +\infty[$ .
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6
Démontre que la fonction $F(x) = x\ln(x) - x$ est une primitive de $\ln(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ .
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7
Donne une primitive de $f(x) = \cos^{2}(x)$ , en utilisant l'identité $\cos^{2}(x) = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$ .
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8
La vitesse d'un mobile est donnée par $v(t) = 3t^{2} + 2$ , en mètres par seconde. Détermine sa position $x(t)$ sachant qu'il se trouve à 5 mètres de l'origine à l'instant 0.
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9
Explique la différence entre l'expression « une primitive » et l'expression « la primitive ».
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10
Donne une primitive de la fonction $f(x) = \dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+1}$ sur un intervalle où le dénominateur est strictement positif.
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