Les probabilités conditionnelles

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1
Une entreprise a trois ateliers A, B et C produisant respectivement 50 %, 30 % et 20 % des pièces, avec des taux de défaut de 2 %, 5 % et 8 %. Calcule la proportion de pièces défectueuses, puis la probabilité qu'une pièce défectueuse vienne de C.
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Défectueuses : $0{,}50 \times 0{,}02 + 0{,}30 \times 0{,}05 + 0{,}20 \times 0{,}08 = 0{,}01 + 0{,}015 + 0{,}016 = 0{,}041$ , soit 4,1 % de la production.
Pièces défectueuses venant de C : $0{,}016$ .
$P_{\text{défectueuse}}(C) = \frac{0{,}016}{0{,}041} \approx 0{,}390$ . L'atelier C fournit 20 % des pièces et 39 % des rebuts : son taux de défaut quadruple celui de A.
2
Démontre que si A et B sont indépendants, alors A et $\overline{B}$ le sont aussi.
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On part de $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ , car A se décompose selon que B est réalisé ou non.
L'indépendance donne $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ , donc $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B))$ .
Or $1 - P(B) = P(\overline{B})$ , donc $P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B})$ : A et $\overline{B}$ sont indépendants. Le même raisonnement vaut pour $\overline{A}$ et $\overline{B}$ .
3
Un sac contient deux pièces : l'une équilibrée, l'autre truquée donnant pile à coup sûr. On en prend une au hasard et on obtient pile. Calcule la probabilité d'avoir pris la pièce truquée.
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4
On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}5$ . Détermine les valeurs possibles de $P(A \cap B)$ , puis dis pour laquelle A et B sont indépendants.
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5
Deux événements de probabilités non nulles sont incompatibles. Démontre qu'ils ne peuvent pas être indépendants.
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6
Dans une population, 60 % sont vaccinés. Parmi les vaccinés, 5 % attrapent la maladie ; parmi les non-vaccinés, 30 %. Calcule la proportion de malades, puis la part de vaccinés parmi les malades, et commente le résultat souvent mal interprété.
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7
Une urne contient 3 boules rouges et 5 noires. On tire trois boules sans remise. Calcule la probabilité que la troisième soit rouge, et compare à la probabilité que la première le soit.
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8
On donne $P_A(B) = 0{,}8$ , $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$ et $P(B) = 0{,}5$ . Détermine $P(A)$ .
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9
Trois boîtes contiennent respectivement deux pièces d'or, une d'or et une d'argent, et deux d'argent. On choisit une boîte au hasard et on en tire une pièce au hasard : elle est en or. Calcule la probabilité que l'autre pièce de la boîte soit aussi en or.
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10
Un événement A vérifie $P(A) = 0{,}6$ et l'on sait que $P_A(B) = P_{\overline{A}}(B)$ . Démontre que A et B sont indépendants, et calcule $P(B)$ en fonction de cette valeur commune.
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