Les probabilités conditionnelles

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1
Dans une entreprise, 70 % des employés sont à temps plein. Parmi eux, 20 % télétravaillent ; parmi les autres, 50 % télétravaillent. Calcule la proportion d'employés qui télétravaillent.
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Deux chemins mènent au télétravail.
Temps plein : $0{,}70 \times 0{,}20 = 0{,}14$ . Temps partiel : $0{,}30 \times 0{,}50 = 0{,}15$ .
La proportion vaut $0{,}14 + 0{,}15 = 0{,}29$ , soit 29 % des employés. C'est la formule des probabilités totales.
2
Dans la même entreprise, calcule la probabilité qu'un employé qui télétravaille soit à temps plein.
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On cherche $P_T(\text{temps plein}) = \frac{P(\text{temps plein} \cap T)}{P(T)}$ .
$\frac{0{,}14}{0{,}29} \approx 0{,}483$ .
Moins de la moitié des télétravailleurs sont à temps plein, alors que 70 % des employés le sont : le conditionnement renverse l'impression.
3
Un tableau croisé donne, sur 200 personnes : 80 hommes dont 30 fumeurs, et 120 femmes dont 24 fumeuses. Calcule la probabilité qu'une personne prise au hasard fume, sachant que c'est un homme.
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4
Avec le même tableau de 200 personnes, calcule la probabilité qu'une personne soit un homme, sachant qu'elle fume.
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5
On donne $P(A) = 0{,}4$ , $P_A(B) = 0{,}3$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}6$ . Calcule $P(B)$ .
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6
Avec les mêmes données, calcule $P_B(A)$ .
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7
Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes. On tire deux boules sans remise. Calcule la probabilité que la seconde soit rouge sachant que la première l'était.
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8
On lance deux dés. On note A l'événement « le premier dé donne 6 » et B l'événement « la somme vaut 7 ». Calcule $P_A(B)$ .
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9
Démontre que si A et B sont indépendants, alors $P_A(B) = P(B)$ .
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10
Un sac contient 4 jetons rouges et 6 bleus. On en tire un au hasard, on note sa couleur, et on le remet. Dis si les deux tirages sont indépendants, et justifie.
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