Les racines carrées

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1
Montre que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.
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Supposons $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec la fraction irréductible.
Alors $p^2 = 2q^2$ , donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair.
Écrivons $p = 2k$ : alors $4k^2 = 2q^2$ , donc $q^2 = 2k^2$ , et $q$ est pair à son tour.
Mais $p$ et $q$ tous deux pairs contredit l'irréductibilité de la fraction.
La supposition est donc absurde : $\sqrt{2}$ est irrationnel.
2
Simplifie $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$ .
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$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .
On pouvait aussi simplifier $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ , puis diviser par $\sqrt{3}$ .
3
Rends le dénominateur entier : $\frac{2}{\sqrt{5} - 1}$ .
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4
Résous $x^2 = 18$ et donne les solutions sous forme simplifiée.
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5
Compare $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ et $\sqrt{10}$ sans calculatrice.
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6
Montre que $\sqrt{a^2} = |a|$ pour tout réel $a$ .
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7
Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 3 et 5. Calcule son hypoténuse sous forme exacte.
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8
Simplifie $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$ .
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9
Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $\sqrt{x - 3}$ est-elle définie ?
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10
Montre que $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ pour $a$ et $b$ positifs, et explique pourquoi la condition est nécessaire.
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