La réciproque de Thalès

Dans un triangle $ABC$, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$. Démontre que $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$.

Dans un triangle $ABC$, $AM = 2{,}4$, $AB = 6$, $AN = 3{,}2$ et $AC = 8$, les points étant alignés dans le même ordre. Rédige la démonstration complète.

Dans un trapèze $ABCD$ de bases $[AB]$ et $[CD]$, les diagonales se coupent en $O$. On mesure $OA = 4$, $OC = 6$, $OB = 5$ et $OD = 7{,}5$. Vérifie la cohérence de ces mesures.

Dans un triangle $ABC$, $N$ est sur $[AC]$ avec $AN = 4$ et $AC = 16$. Détermine la longueur $AM$, avec $M$ sur $[AB]$ et $AB = 12$, pour que $(MN)$ soit parallèle à $(BC)$.

Dans un triangle $ABC$, $AM = 5$, $AB = 12$, $AN = 7$ et $AC = 16{,}8$, les points étant alignés dans le même ordre. Détermine si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

Donne un exemple montrant que l'égalité des rapports ne suffit pas sans la condition d'ordre.

Dans un quadrilatère $ABCD$, $M$ appartient à $[AB]$ avec $AM = 2$ et $AB = 4$, et $N$ appartient à $[AD]$ avec $AN = 3$ et $AD = 6$. Démontre que $(MN)$ est parallèle à $(BD)$.

Deux droites se coupent en $O$, avec $OA = 3$ et $OB = 4$ sur la première, $OC = 7{,}5$ et $OD = 10$ sur la seconde, les points étant dans le même ordre. Démontre que $(AC)$ est parallèle à $(BD)$.

Explique comment un menuisier peut vérifier que deux traverses d'un ouvrage sont parallèles, en ne mesurant que des longueurs.

Explique pourquoi la réciproque du théorème de Thalès n'utilise que deux rapports, alors que le théorème direct en donne trois.