La réciproque de Thalès

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1
Démontre la réciproque du théorème de Thalès.
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Supposons $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = k$ , avec les points alignés dans le même ordre. Traçons la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ : elle coupe la droite $(AC)$ en un point $N'$ .
Le théorème direct de Thalès s'applique alors à cette nouvelle configuration : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN'}{AC}$ , donc $\dfrac{AN'}{AC} = k$ et $AN' = k \times AC$ .
Or $AN = k \times AC$ également, et les points $N$ et $N'$ sont tous deux sur la demi-droite $[AC)$ du même côté : ils sont donc confondus. La droite $(MN)$ est donc celle que l'on avait tracée parallèle à $(BC)$ .
2
Dans un triangle $ABC$ , $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = x$ et $MB = 6$ , et $N$ est sur $[AC]$ avec $AN = x + 1$ et $NC = 9$ . Détermine $x$ pour que $(MN)$ soit parallèle à $(BC)$ .
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On a $AB = x + 6$ et $AC = x + 10$ . Le parallélisme équivaut à $\dfrac{x}{x + 6} = \dfrac{x + 1}{x + 10}$ .
Le produit en croix donne $x(x + 10) = (x + 1)(x + 6)$ , soit $x^2 + 10x = x^2 + 7x + 6$ .
En simplifiant, $3x = 6$ donc $x = 2$ . On vérifie : $\dfrac{2}{8} = 0{,}25$ et $\dfrac{3}{12} = 0{,}25$ .
3
Démontre que dans un trapèze, les diagonales se coupent en partageant chacune d'elles dans le rapport des deux bases.
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4
Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ , et la parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $[AC]$ en $J$ . Démontre que $J$ est le milieu de $[AC]$ .
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5
Dans un quadrilatère quelconque $ABCD$ , on note $P$ , $Q$ , $R$ et $S$ les milieux respectifs de $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ et $[DA]$ . Démontre que $PQRS$ est un parallélogramme.
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6
Explique pourquoi la réciproque du théorème de Thalès est l'outil privilégié pour démontrer un parallélisme en troisième.
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7
Trois droites parallèles coupent deux sécantes. Démontre que les rapports des segments découpés sur l'une sont égaux à ceux découpés sur l'autre.
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8
Un élève compare $\dfrac{AM}{MB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ pour appliquer la réciproque. Explique son erreur, et donne la condition correcte avec les segments $MB$ et $NC$ .
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9
Dans un triangle $ABC$ , on place $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ tels que $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{4}$ . Calcule le rapport de l'aire du triangle $AMN$ à celle de $ABC$ , puis celui de l'aire du quadrilatère $MBCN$ .
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10
Explique pourquoi la réciproque du théorème de Thalès et la caractérisation d'une homothétie disent la même chose.
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