Séries à deux variables et ajustement

Une série à deux variables a pour moyennes $\bar{x} = 4$ et $\bar{y} = 23$, et sa droite d'ajustement a pour coefficient directeur $3{,}5$. Détermine l'équation de la droite, puis l'estimation pour $x = 10$ et le rang pour lequel l'estimation atteint 100.

Deux élèves ajustent le même nuage : le premier met $x$ en abscisse et trouve $y = 2x + 1$, le second échange les rôles et trouve $x = 0{,}4y + 1{,}2$. Explique pourquoi les deux droites ne sont pas la même, et dis quand elles coïncideraient.

Une population passe de 2 000 à 2 420 habitants en deux ans. Un ajustement affine et un modèle à taux constant sont proposés. Calcule la prévision de chacun pour la dixième année, et explique l'écart.

Un nuage de 10 points a un coefficient de corrélation de $0{,}92$. On ajoute un onzième point très éloigné, dans le prolongement de la tendance. Détermine l'effet attendu sur le coefficient de corrélation et sur la droite, et explique le danger.

On dispose de relevés d'une grandeur qui double tous les 3 ans : 5 ; 10 ; 20 ; 40 aux rangs 0, 3, 6 et 9. Explique pourquoi un ajustement affine est inadapté, puis montre comment un changement de variable rend le nuage alignable.

Les relevés sont $(1\,;\,3)$, $(2\,;\,4)$, $(3\,;\,8)$, $(4\,;\,9)$. Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés à l'aide du quotient de la covariance par la variance des abscisses, puis donne son équation.

Avec la droite $y = 2{,}2x + 0{,}5$ ajustant les points $(1\,;\,3)$, $(2\,;\,4)$, $(3\,;\,8)$, $(4\,;\,9)$, calcule les quatre résidus et vérifie que leur somme est nulle.

Dans deux ateliers, le lien entre ancienneté et salaire est croissant. Atelier A : $(2\,;\,1\,900)$ et $(6\,;\,2\,100)$. Atelier B : $(1\,;\,1\,500)$ et $(5\,;\,1\,700)$. On réunit les quatre points. Détermine le signe de la corrélation dans chaque atelier puis dans la réunion, et explique le phénomène.

Des relevés existent pour les rangs 1 à 6, et l'ajustement vaut $y = 4x + 20$. Compare la fiabilité de l'estimation pour $x = 3{,}5$ et pour $x = 30$, puis quantifie le problème de la seconde.

Pour les points $(1\,;\,2{,}2)$, $(2\,;\,3{,}8)$, $(3\,;\,6{,}3)$, on impose un ajustement de la forme $y = ax$, sans ordonnée à l'origine. Détermine le $a$ qui minimise la somme des carrés des résidus, et compare au coefficient obtenu en divisant simplement la moyenne des $y$ par celle des $x$.