Les suites arithmétiques

🟠 Difficile

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1
Une suite arithmétique vérifie $u_2 = 11$ et $u_7 = 31$ . Détermine sa raison, puis son premier terme $u_0$ .
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Entre les rangs 2 et 7, on fait 5 pas : $u_7 - u_2 = 5r$ , soit $31 - 11 = 20 = 5r$ , donc $r = 4$ .
On remonte ensuite deux pas depuis $u_2$ : $u_0 = 11 - 2 \times 4 = 3$ .
La suite a donc pour premier terme 3 et pour raison 4, soit $u_n = 3 + 4n$ .
2
Calcule la somme de tous les nombres impairs compris entre 1 et 99.
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Ces nombres forment une suite arithmétique de raison 2, de premier terme 1 et de dernier terme 99.
Leur nombre vaut $\dfrac{99 - 1}{2} + 1 = 50$ .
La somme vaut $50 \times \dfrac{1 + 99}{2} = 50 \times 50 = 2\,500$ . On retrouve le carré du nombre de termes, ce qui est vrai pour toute somme de nombres impairs consécutifs à partir de 1.
3
Démontre que la suite définie par $u_n = \dfrac{3n - 1}{2}$ est arithmétique.
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4
Détermine le nombre de termes de la suite arithmétique 5 ; 8 ; 11 ; … ; 98.
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5
Calcule la somme $5 + 8 + 11 + \dots + 98$ .
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6
Un théâtre compte 12 places au premier rang, puis 3 places de plus à chaque rang suivant. Calcule le nombre total de places pour 20 rangs.
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7
Détermine le plus petit rang $n$ pour lequel $u_n \gt 200$ , avec $u_n = 7n + 15$ .
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8
Démontre que si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ , alors $u_n - u_p = (n - p)\,r$ pour tous rangs $n$ et $p$ .
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9
Trois nombres en progression arithmétique ont pour somme 36, et le plus petit vaut 8. Détermine les deux autres.
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10
Explique pourquoi une suite arithmétique de raison non nulle ne peut pas être à la fois majorée et minorée.
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