Les suites arithmétiques

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1
Démontre la formule donnant la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.
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Notons $S = u_0 + u_1 + \dots + u_n$ , puis écrivons la même somme à l'envers : $S = u_n + u_{n-1} + \dots + u_0$ .
En additionnant terme à terme, chaque couple vaut $u_0 + u_n$ , car ce que l'on gagne d'un côté on le perd de l'autre. On obtient $2S = (n+1)(u_0 + u_n)$ .
Donc $S = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$ : le nombre de termes multiplié par la demi-somme des extrêmes. C'est l'astuce attribuée à Gauss enfant.
2
La somme des 10 premiers termes d'une suite arithmétique de raison 3 vaut 155. Détermine son premier terme $u_1$ .
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Les dix termes valent $u_1$ , $u_1 + 3$ , …, $u_1 + 27$ .
Leur somme vaut $10\,u_1 + 3 \times (0 + 1 + \dots + 9) = 10\,u_1 + 3 \times 45 = 10\,u_1 + 135$ .
On résout $10\,u_1 + 135 = 155$ , donc $u_1 = 2$ .
3
Démontre par récurrence que le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n = u_0 + n\,r$ .
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4
Détermine trois nombres en progression arithmétique dont la somme vaut 15 et le produit 80.
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5
Démontre que la somme de deux suites arithmétiques est une suite arithmétique, et précise sa raison.
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6
Un capital de 2 000 € augmente de 150 € chaque année. Détermine au bout de combien d'années il dépasse 5 000 €, puis calcule le total des versements sur cette durée.
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7
Démontre que dans une suite arithmétique, chaque terme est la moyenne du précédent et du suivant.
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8
Calcule la somme de tous les multiples de 7 compris entre 1 et 1 000.
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9
Une suite arithmétique de raison 5 vérifie $u_3 + u_7 = 64$ . Détermine $u_0$ .
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10
Détermine toutes les suites qui sont à la fois arithmétiques et géométriques.
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