Généralités : définir, calculer, varier

🟠 Difficile

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Les suites ».

1
Étudie le sens de variation de la suite définie par $u_n = n^2 - 6n$ .
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$u_{n+1} - u_n = \left((n+1)^2 - 6(n+1)\right) - (n^2 - 6n)$ .
En développant : $n^2 + 2n + 1 - 6n - 6 - n^2 + 6n = 2n - 5$ .
Cette différence est négative pour $n \leqslant 2$ et positive pour $n \geqslant 3$ : la suite décroît jusqu'au rang 3, puis croît. Elle n'est donc ni croissante ni décroissante.
2
Démontre que la suite définie par $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ est croissante.
Voir le corrigéoffert
On calcule la différence, en réduisant au même dénominateur.
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)}$ .
Le numérateur vaut $n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n = 1$ , et le dénominateur est strictement positif. La différence est donc strictement positive : la suite est strictement croissante.
3
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ . Calcule $u_1$ et $u_2$ , puis conclus.
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4
Détermine le sens de variation de la suite définie par $u_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ .
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5
Donne l'expression explicite de la suite définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = u_n + 5$ .
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6
Détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $2^n \gt 1000$ .
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7
Explique pourquoi une suite peut être majorée sans être décroissante.
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8
La suite $(u_n)$ est définie par $u_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}$ . Calcule $u_0$ , $u_1$ et $u_{10}$ .
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9
Démontre que la suite définie par $u_n = 5 - \dfrac{1}{n}$ pour $n \geqslant 1$ est majorée par 5.
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10
Écris un algorithme qui affiche les termes de la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ jusqu'au rang 10.
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