Généralités : définir, calculer, varier

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1
Démontre par récurrence que la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ vérifie $u_n = 2^{n+1} - 1$ pour tout entier naturel $n$ .
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Initialisation : pour $n = 0$ , la formule donne $2^1 - 1 = 1$ , ce qui est bien $u_0$ .
Hérédité : supposons $u_n = 2^{n+1} - 1$ pour un rang $n$ fixé. Alors $u_{n+1} = 2\left(2^{n+1} - 1\right) + 1 = 2^{n+2} - 2 + 1 = 2^{n+2} - 1$ , ce qui est la formule au rang $n + 1$ .
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$ .
2
Démontre par récurrence que la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 1$ vérifie $u_n = n^2$ .
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Initialisation : $u_0 = 0$ et $0^2 = 0$ , la formule est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons $u_n = n^2$ . Alors $u_{n+1} = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$ , ce qui est bien la formule au rang suivant.
La propriété est donc vraie pour tout $n$ . On retrouve au passage que la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut $n^2$ .
3
Démontre que tous les termes de la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$ sont strictement positifs.
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4
Démontre par récurrence que $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ pour tout entier $n \geqslant 1$ .
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5
Étudie le sens de variation de la suite définie par $u_n = \dfrac{n}{2^n}$ pour $n \geqslant 1$ .
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6
Démontre que si une suite est croissante, alors $u_n \geqslant u_0$ pour tout entier naturel $n$ .
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7
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = a$ et $u_{n+1} = u_n + n$ . Détermine l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et de $a$ .
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8
Démontre par récurrence que $2^n \geqslant n + 1$ pour tout entier naturel $n$ .
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9
Détermine toutes les suites constantes vérifiant la relation $u_{n+1} = 3u_n - 4$ .
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10
Détermine la valeur de $u_0$ strictement positive pour laquelle la suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$ est constante.
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