Les suites géométriques

🟠 Difficile

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1
Une suite géométrique à termes positifs vérifie $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$ . Détermine sa raison, puis $u_0$ .
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Entre les rangs 2 et 5, on multiplie trois fois par la raison : $u_5 = u_2 \times q^3$ , soit $96 = 12 q^3$ , donc $q^3 = 8$ et $q = 2$ .
On remonte ensuite deux rangs : $u_0 = \dfrac{u_2}{q^2} = \dfrac{12}{4} = 3$ .
Le terme général est donc $u_n = 3 \times 2^n$ .
2
Donne la formule de la somme $1 + q + q^2 + \dots + q^n$ lorsque $q$ est différent de 1.
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Elle vaut $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .
On peut la retenir ainsi : 1 moins la raison à la puissance « nombre de termes », le tout divisé par 1 moins la raison.
Il y a bien $n + 1$ termes, puisqu'on commence au rang 0.
3
Calcule la somme des 8 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2.
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4
Détermine le plus petit entier $n$ pour lequel $2^n$ dépasse un million.
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5
Un capital de 5 000 € est placé au taux de 3 % par an. Calcule sa valeur au bout de 10 ans, arrondie à l'euro.
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6
Une substance radioactive perd la moitié de sa masse tous les 8 jours. Détermine au bout de combien de jours il en reste moins de 5 % de la masse initiale.
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7
Démontre que la suite définie par $u_n = \dfrac{5}{2^n}$ est géométrique.
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8
Détermine le sens de variation de la suite géométrique de premier terme $-2$ et de raison 3.
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9
Calcule la somme $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{2^{10}}$ .
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10
Explique pourquoi une suite géométrique de raison strictement négative n'est ni croissante ni décroissante.
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