Les suites géométriques

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1
Démontre la formule donnant la somme $1 + q + q^2 + \dots + q^n$ pour $q$ différent de 1.
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Notons $S = 1 + q + \dots + q^n$ , puis multiplions par la raison : $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$ .
En soustrayant, tous les termes intermédiaires disparaissent : $S - qS = 1 - q^{n+1}$ , soit $S(1 - q) = 1 - q^{n+1}$ .
Comme $q \ne 1$ , on peut diviser : $S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ . Cette technique du décalage est la même que pour les développements télescopiques.
2
Démontre par récurrence que le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n = u_0\,q^n$ .
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Initialisation : au rang 0, la formule donne $u_0 \times q^0 = u_0$ , ce qui est exact.
Hérédité : supposons $u_n = u_0\,q^n$ . La définition donne $u_{n+1} = q\,u_n = q \times u_0\,q^n = u_0\,q^{n+1}$ , qui est la formule au rang suivant.
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire : elle vaut pour tout entier naturel.
3
Une suite géométrique à termes positifs vérifie $u_1 = 6$ et $u_4 = 48$ . Détermine son premier terme $u_0$ .
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4
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 3u_n + 4$ . Démontre que la suite $v_n = u_n + 2$ est géométrique, puis donne le terme général de $(u_n)$ .
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5
Détermine la valeur de $q$ comprise entre 0 et 1 pour laquelle la somme $1 + q + q^2 + \dots$ se rapproche de 4 quand le nombre de termes augmente.
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6
Un placement double de valeur tous les 12 ans. Détermine le taux annuel correspondant, arrondi au dixième de pour cent.
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7
Démontre que le produit de deux suites géométriques est une suite géométrique, et précise sa raison.
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8
Détermine le nombre de termes de la suite géométrique 3 ; 6 ; 12 ; … ; 3 072.
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9
Démontre que si $q$ est compris strictement entre 0 et 1, la somme $1 + q + \dots + q^n$ reste toujours inférieure à $\dfrac{1}{1-q}$ .
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10
Une feuille de papier de $0{,}1$ mm d'épaisseur est pliée 42 fois en deux. Calcule l'épaisseur obtenue, en kilomètres, puis commente le résultat.
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