Limites et convergence

🟠 Difficile

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1
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = \dfrac{2n^2 + 3}{n^2 - 1}$ pour $n \geqslant 2$ .
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Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée.
On factorise par le terme de plus haut degré : $u_n = \dfrac{n^2\left(2 + \frac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{2 + \frac{3}{n^2}}{1 - \frac{1}{n^2}}$ .
Les deux petits quotients tendent vers 0, donc la limite vaut $\dfrac{2}{1} = 2$ .
2
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ .
Voir le corrigéoffert
C'est une forme indéterminée du type infini moins infini.
On multiplie et divise par la quantité conjuguée : $u_n = \dfrac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ .
Le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc la limite vaut 0. Deux racines voisines finissent par se rejoindre, même si chacune part à l'infini.
3
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$ , à l'aide du théorème des gendarmes.
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4
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = n - \sqrt{n}$ .
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5
Explique pourquoi une différence de deux suites tendant vers $+\infty$ est une forme indéterminée.
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6
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = \dfrac{5n - 2}{3n + 4}$ .
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7
Donne l'énoncé du théorème de convergence monotone, et précise ce qu'il ne permet pas de faire.
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8
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = 2^n - n^2$ .
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9
Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \geqslant n^2 - 5$ pour tout entier $n$ . Détermine sa limite.
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10
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$ .
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