Limites et convergence

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1
Démontre, en revenant à la définition, que la suite définie par $u_n = \dfrac{1}{n}$ converge vers 0.
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Soit un intervalle ouvert quelconque contenant 0 : il contient un intervalle de la forme $\left]-\varepsilon ; \varepsilon\right[$ avec $\varepsilon \gt 0$ .
On cherche à partir de quel rang $\dfrac{1}{n} \lt \varepsilon$ , ce qui équivaut à $n \gt \dfrac{1}{\varepsilon}$ . Il suffit donc de prendre pour rang le premier entier supérieur à $\dfrac{1}{\varepsilon}$ .
À partir de ce rang, tous les termes sont dans l'intervalle choisi : c'est exactement la définition de la convergence vers 0.
2
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ . Étudie la suite $v_n = u_n - 6$ , puis détermine la limite de $(u_n)$ .
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On calcule $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{2}u_n + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}(u_n - 6) = \dfrac{1}{2}v_n$ .
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ , avec $v_0 = -5$ : on obtient $v_n = -5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ , qui tend vers 0.
Comme $u_n = v_n + 6$ , la limite de $(u_n)$ vaut 6. Le nombre 6 n'est pas choisi au hasard : c'est la solution de $c = \dfrac{1}{2}c + 3$ , le point fixe de la relation.
3
Démontre que si $q \gt 1$ , alors la suite $q^n$ tend vers $+\infty$ .
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4
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = \sqrt{n^2 + n} - n$ .
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5
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ , et donne le nom de cette limite.
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6
Démontre que toute suite convergente est bornée.
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7
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$ . Détermine sa limite.
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8
Démontre que la somme $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{2^n}$ converge, puis donne sa limite.
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9
Détermine la limite de la suite définie par $u_n = \dfrac{n}{2^n}$ , et justifie la réponse.
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10
Explique pourquoi la suite définie par $u_n = (-1)^n$ n'a pas de limite.
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