La symétrie centrale

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1
Démontre que la symétrie centrale conserve les longueurs.
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Soient $A$ et $B$ deux points, et $A'$ , $B'$ leurs images par la symétrie de centre $O$ .
Le point $O$ est le milieu de $[AA']$ et de $[BB']$ : le quadrilatère $ABA'B'$ a donc ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c'est un parallélogramme.
Or les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur : $A'B' = AB$ . La symétrie centrale conserve donc bien les longueurs.
2
Démontre que l'enchaînement de deux symétries centrales de centres différents est un glissement.
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Plaçons-nous dans un repère d'origine $O_1$ , et notons $O_2$ le second centre, de coordonnées $(a ; b)$ . Un point $M(x ; y)$ a pour image $M_1(-x ; -y)$ par la première symétrie.
La symétrie de centre $O_2$ envoie un point $(u ; v)$ sur $(2a - u ; 2b - v)$ : l'image finale de $M$ est donc $M_2(2a + x ; 2b + y)$ .
Chaque point se déplace donc de la même quantité $(2a ; 2b)$ , quelle que soit sa position : c'est un glissement, de longueur double de la distance $O_1O_2$ et dans la direction $(O_1O_2)$ .
3
Pour un hexagone régulier, détermine son centre de symétrie et le nombre de ses axes de symétrie.
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4
Explique pourquoi un polygone régulier possède un centre de symétrie si et seulement si son nombre de côtés est pair.
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5
Dans un repère, le point $M(x ; y)$ a pour symétrique $M'$ par rapport au point $O(a ; b)$ . Exprime les coordonnées de $M'$ en fonction de $x$ , $y$ , $a$ et $b$ .
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6
Démontre que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, en utilisant la symétrie centrale.
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7
Explique pourquoi la symétrie centrale conserve le sens des angles alors que la symétrie axiale l'inverse.
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8
Un trapèze possède-t-il un centre de symétrie ? Distingue les cas.
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9
Explique pourquoi les figures des cartes à jouer possèdent un centre de symétrie.
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10
Démontre que si une figure possède deux centres de symétrie distincts, alors elle en possède une infinité.
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