Le théorème de Thalès

Dans un triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AB = 12$, $AC = 15$ et $MN = 6$, avec $BC = 10$. Calcule $AM$ et $AN$.

Démontre, à l'aide du théorème de Thalès, que la droite joignant les milieux de deux côtés d'un triangle mesure la moitié du troisième côté.

Un cône de hauteur 12 cm et de rayon 5 cm est coupé par un plan parallèle à la base, à 8 cm du sommet. Calcule le rayon de la section, puis le rapport des volumes du petit cône et du grand.

Dans une configuration de Thalès de sommet $A$, on pose $AM = x$, $AB = x + 4$, $AN = 6$ et $AC = 10$. Détermine la valeur de $x$.

Dans un trapèze $ABCD$ de bases $[AB]$ et $[CD]$, les diagonales se coupent en $O$. On donne $AB = 6$, $CD = 9$ et $OA = 4$. Calcule $OC$.

Explique pourquoi le théorème de Thalès reste valable dans la configuration en papillon, alors que les triangles sont de part et d'autre du sommet.

Une pyramide de hauteur 15 m est coupée par un plan parallèle à la base. La section obtenue a une aire représentant 36 % de celle de la base. Calcule la distance entre le sommet et le plan de coupe.

Dans un triangle $ABC$, les points $M$ et $N$ sont tels que $(MN)$ soit parallèle à $(BC)$ et que l'aire de $AMN$ soit la moitié de celle de $ABC$. Détermine le rapport $\dfrac{AM}{AB}$, en valeur exacte.

Thalès aurait mesuré la hauteur de la grande pyramide à l'aide de son ombre. Explique comment procéder, et donne le calcul avec un bâton de 1 m dont l'ombre mesure 1,2 m, la pyramide projetant une ombre de 170 m depuis le centre de sa base.

Dans une configuration de Thalès de sommet $A$, un élève trouve $AN = 18$ alors que $AC = 12$ et que $N$ appartient à $[AC]$. Explique pourquoi ce résultat est forcément faux.