Les triangles et leurs propriétés

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1
Démontre que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, en traçant la parallèle à un côté passant par le sommet opposé.
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Soit $ABC$ un triangle, et traçons la parallèle à $(BC)$ passant par $A$ . Elle forme en $A$ un angle plat, partagé en trois angles : deux de part et d'autre, et l'angle $\widehat{A}$ du triangle.
L'angle de gauche et $\widehat{B}$ sont alternes-internes par rapport à la sécante $(AB)$ : ils sont égaux. De même, l'angle de droite et $\widehat{C}$ sont alternes-internes par rapport à $(AC)$ .
La somme des trois angles de l'angle plat vaut 180°, donc $\widehat{B} + \widehat{A} + \widehat{C} = 180$ °.
2
Un triangle a pour côtés 8 cm, 15 cm et 17 cm. Détermine sa nature, en justifiant par un calcul.
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On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$ , et $17^2 = 289$ .
L'égalité est vérifiée : par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et son angle droit est opposé au côté de 17 cm.
3
Dans un triangle $ABC$ , la bissectrice de $\widehat{A}$ et celle de $\widehat{B}$ se coupent en $I$ . Exprime l'angle $\widehat{AIB}$ en fonction de $\widehat{C}$ .
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4
Un triangle isocèle a un périmètre de 40 cm et des côtés de longueurs entières. Détermine toutes les formes possibles.
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5
Démontre que dans un triangle, la somme de deux angles quelconques est strictement inférieure à 180°.
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6
Un triangle $ABC$ vérifie $\widehat{A} = \widehat{B} + \widehat{C}$ . Détermine sa nature.
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7
Trois villages sont reliés deux à deux par des routes rectilignes de 12 km, 18 km et 31 km. Dis si cette configuration est possible, et explique ce que cela signifie concrètement.
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8
Dans un triangle $ABC$ isocèle en $A$ , on place $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ tels que $AM = AN$ . Démontre que le triangle $AMN$ est isocèle et que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ .
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9
Un triangle a des côtés de longueurs entières, un périmètre de 12 cm, et n'est pas équilatéral. Détermine tous les triplets possibles.
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10
Explique pourquoi la somme des angles d'un triangle dessiné sur une sphère dépasse toujours 180°, et donne un exemple.
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Triangle, c'est quoi ?Triangle isocèle, c'est quoi ?Triangle équilatéral, c'est quoi ?Sommet, c'est quoi ?Inégalité triangulaire, c'est quoi ?