La valeur moyenne

🟠 Difficile

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1
Démontre que la valeur moyenne d'une fonction continue sur $[a ; b]$ est comprise entre son minimum et son maximum.
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Notons $m$ le minimum et $M$ le maximum de $f$ sur $[a ; b]$ . On a donc $m \leqslant f(x) \leqslant M$ pour tout $x$ de l'intervalle.
L'intégrale conserve l'ordre, donc $\int_{a}^{b} m \leqslant \int_{a}^{b} f \leqslant \int_{a}^{b} M$ , c'est-à-dire $m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b} f \leqslant M(b-a)$ .
En divisant par $b - a$ , qui est strictement positif, on obtient $m \leqslant \mu \leqslant M$ . C'est l'inégalité de la moyenne.
2
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^{2}$ sur l'intervalle $[-2 ; 2]$ .
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L'intégrale vaut $\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2} = \dfrac{8}{3} + \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}$ .
La longueur de l'intervalle vaut 4.
La valeur moyenne vaut donc $\dfrac{16}{3} \div 4 = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$ . Elle est bien comprise entre le minimum 0 et le maximum 4.
3
Démontre qu'une fonction continue sur $[a ; b]$ atteint sa valeur moyenne au moins une fois.
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4
Un mobile a pour vitesse $v(t) = 3t^{2}$ sur $[0 ; 2]$ . Calcule sa vitesse moyenne, puis compare-la à la moyenne des vitesses initiale et finale.
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5
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = \ln(x)$ sur l'intervalle $[1 ; e]$ .
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6
Explique la différence entre la valeur moyenne d'une fonction et la moyenne de quelques-unes de ses valeurs.
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7
Détermine le réel $b$ strictement positif tel que la valeur moyenne de $f(x) = x$ sur $[0 ; b]$ vaille 5.
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8
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = \cos(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$ .
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9
Une population suit $P(t) = 1000\,e^{0{,}1t}$ sur une période de 10 ans. Calcule la population moyenne sur cette période.
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10
Explique pourquoi la vitesse moyenne sur un trajet n'est pas la moyenne des vitesses affichées au compteur.
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