La valeur moyenne

🟡 Moyen

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres suivent l'accès à la famille « Primitives et intégrales ».

1
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = e^{x}$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$ .
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L'intégrale vaut $\left[e^{x}\right]_{0}^{1} = e - 1$ .
La longueur de l'intervalle vaut 1.
La valeur moyenne vaut donc $e - 1 \approx 1{,}718$ . Elle est bien comprise entre $f(0) = 1$ et $f(1) = e \approx 2{,}718$ .
2
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = \sin(x)$ sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ .
Voir le corrigéoffert
L'intégrale vaut $\left[-\cos(x)\right]_{0}^{\pi} = 1 + 1 = 2$ .
La longueur de l'intervalle vaut $\pi$ .
La valeur moyenne vaut donc $\dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}637$ . Elle est bien inférieure au maximum, qui vaut 1.
3
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = 3x^{2}$ sur l'intervalle $[1 ; 2]$ .
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4
Détermine l'abscisse à laquelle la fonction $f(x) = x$ atteint sa valeur moyenne sur $[0 ; 4]$ .
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5
Explique pourquoi la valeur moyenne d'une fonction impaire sur un intervalle $[-a ; a]$ est nulle.
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6
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur l'intervalle $[1 ; 2]$ .
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7
La température d'un four suit $T(t) = 20 + 5t$ degrés, où $t$ est en heures, pendant 4 heures. Calcule la température moyenne.
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8
Indique si la valeur moyenne d'une fonction peut être supérieure à son maximum sur l'intervalle.
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9
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^{3}$ sur l'intervalle $[-1 ; 1]$ .
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10
Donne l'encadrement de la valeur moyenne d'une fonction continue par son minimum et son maximum.
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