La valeur moyenne

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1
Démontre la formule de la valeur moyenne à partir de l'idée du rectangle de même aire.
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Soit $f$ positive et continue sur $[a ; b]$ . L'aire sous la courbe vaut $\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ .
On cherche la hauteur $\mu$ du rectangle construit sur le même segment $[a ; b]$ et ayant la même aire. L'aire de ce rectangle vaut $\mu \times (b - a)$ .
L'égalité des deux aires donne $\mu(b-a) = \int_{a}^{b} f$ , donc $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f$ . C'est exactement la formule de la valeur moyenne, et cette construction en donne le sens.
2
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = \sin^{2}(x)$ sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ .
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On linéarise : $\sin^{2}(x) = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}$ . Une primitive est donc $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(2x)}{4}$ .
L'intégrale vaut $\left(\dfrac{\pi}{2} - 0\right) - (0 - 0) = \dfrac{\pi}{2}$ , puisque $\sin(2\pi) = 0$ .
La longueur de l'intervalle vaut $\pi$ , donc la valeur moyenne vaut $\dfrac{1}{2}$ . Ce résultat remarquable est à l'origine du facteur $\sqrt{2}$ des tensions efficaces.
3
La valeur efficace d'une tension $u(t) = U\sin(\omega t)$ est la racine carrée de la valeur moyenne de $u^{2}$ sur une période. Démontre qu'elle vaut $\dfrac{U}{\sqrt{2}}$ .
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4
Compare la valeur moyenne de $f(x) = x^{2}$ sur $[0 ; 1]$ et le carré de la valeur moyenne de $g(x) = x$ sur ce même intervalle.
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5
Une voiture parcourt 100 km à 100 km/h, puis 100 km à 50 km/h. Calcule sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet.
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6
Démontre que si l'on découpe $[a ; c]$ en $[a ; b]$ et $[b ; c]$ , la valeur moyenne sur $[a ; c]$ est une moyenne pondérée des deux valeurs moyennes.
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7
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$ .
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8
Explique pourquoi la température moyenne d'une journée n'est pas la moyenne du minimum et du maximum.
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9
Détermine la fonction affine $g$ qui a la même valeur moyenne que $f(x) = x^{2}$ sur $[0 ; 1]$ et la même valeur qu'elle en 1.
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10
Démontre l'inégalité de la moyenne : si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ sur $[a ; b]$ , alors $m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant M(b-a)$ .
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