La valeur moyenne

🟢 Facile

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1
Donne la formule de la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[a ; b]$ .
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Elle vaut $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ .
On calcule donc l'intégrale, puis on divise par la longueur de l'intervalle.
C'est l'équivalent continu d'une moyenne ordinaire : on additionne tout, puis on divise par le nombre de valeurs.
2
Calcule la valeur moyenne de la fonction constante $f(x) = 4$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$ .
Voir le corrigéoffert
L'intégrale vaut $\left[4x\right]_{0}^{3} = 12$ .
La longueur de l'intervalle vaut 3, donc la valeur moyenne vaut $\dfrac{12}{3}$ .
Elle vaut 4. C'est rassurant : la moyenne d'une fonction constante est cette constante elle-même.
3
Donne l'interprétation géométrique de la valeur moyenne d'une fonction positive.
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4
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ .
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5
Indique si la valeur moyenne d'une fonction positive est nécessairement positive.
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6
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = 2x$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$ .
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7
Explique pourquoi on divise par $b - a$ dans la formule de la valeur moyenne.
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8
Indique si une fonction continue atteint nécessairement sa valeur moyenne sur l'intervalle.
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9
Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^{2}$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$ .
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10
Donne le lien entre la valeur moyenne d'une fonction positive et l'aire sous sa courbe.
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