Variables aléatoires et espérance

🟠 Difficile

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1
On lance deux dés à six faces et on note $S$ la somme obtenue. Calcule $E(S)$ sans dresser toute la loi.
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La somme s'écrit $S = X_1 + X_2$ , où $X_1$ et $X_2$ sont les résultats des deux dés.
L'espérance est additive : $E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$ .
C'est cohérent avec le fait que 7 est la somme la plus probable, la loi étant symétrique autour de cette valeur.
2
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs 1, 2 et 3 avec les probabilités $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{2}$ . Calcule $E(X)$ puis $V(X)$ .
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$E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$ .
Pour la variance, on utilise $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ , avec $E(X^2) = 1 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{3} + 9 \times \frac{1}{2} = \frac{1 + 8 + 27}{6} = 6$ .
$V(X) = 6 - \left(\frac{7}{3}\right)^2 = 6 - \frac{49}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556$ , d'où un écart type d'environ $0{,}745$ .
3
Un assureur propose un contrat à 120 € par an. Le sinistre, de coût 2 000 €, survient avec une probabilité de $0{,}04$ . Calcule l'espérance du bénéfice de l'assureur par contrat.
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4
Une urne contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire deux boules sans remise et on note $X$ le nombre de rouges obtenues. Dresse la loi de $X$ et calcule $E(X)$ .
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5
Un jeu propose : 10 € avec une probabilité de $\frac{1}{10}$ , 2 € avec $\frac{3}{10}$ , rien sinon. Détermine la mise qui rend le jeu équitable.
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6
Une variable aléatoire $X$ a pour espérance 4 et pour variance 9. Calcule l'espérance et la variance de $Y = 2X - 5$ .
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7
Deux jeux ont la même espérance de gain, 5 €, mais des écarts types de 1 € et de 40 €. Compare-les du point de vue d'un joueur.
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8
On lance un dé jusqu'à obtenir un 6, au maximum trois fois. On note $X$ le nombre de lancers effectués. Dresse la loi de $X$ .
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9
Une variable aléatoire prend deux valeurs, $a$ et $b$ , avec les probabilités $p$ et $1-p$ . Exprime son espérance, puis vérifie qu'elle est toujours comprise entre $a$ et $b$ .
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10
Un commerçant achète un lot de 100 articles à 8 € pièce. Il en revend 70 % à 15 € et brade le reste à 5 €. Calcule son bénéfice espéré par article.
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