Variables aléatoires et espérance

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1
On lance deux dés à six faces et on note $M$ le plus grand des deux résultats. Dresse la loi de $M$ et calcule son espérance.
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Il y a 36 couples. $M \leqslant k$ signifie que les deux dés donnent au plus $k$ , soit $k^2$ couples : donc $P(M \leqslant k) = \frac{k^2}{36}$ , et $P(M = k) = \frac{k^2 - (k-1)^2}{36} = \frac{2k-1}{36}$ .
La loi est donc $\frac{1}{36}$ , $\frac{3}{36}$ , $\frac{5}{36}$ , $\frac{7}{36}$ , $\frac{9}{36}$ , $\frac{11}{36}$ pour $k$ de 1 à 6 ; leur somme vaut $\frac{36}{36} = 1$ .
$E(M) = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11}{36} = \frac{1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66}{36} = \frac{161}{36} \approx 4{,}47$ , nettement au-dessus de $3{,}5$ .
2
Démontre la formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ à partir de la définition de la variance.
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Par définition, $V(X) = \sum p_i (x_i - m)^2$ où $m = E(X)$ .
En développant le carré : $\sum p_i (x_i^2 - 2mx_i + m^2) = \sum p_i x_i^2 - 2m \sum p_i x_i + m^2 \sum p_i$ .
Or $\sum p_i x_i^2 = E(X^2)$ , $\sum p_i x_i = m$ et $\sum p_i = 1$ . On obtient $E(X^2) - 2m^2 + m^2 = E(X^2) - m^2$ , ce qui est la formule annoncée.
3
Un jeu consiste à lancer un dé : on gagne le nombre obtenu en euros, mais si l'on obtient 1, on perd 10 €. Calcule l'espérance et l'écart type du gain, puis dis si le jeu est favorable.
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4
Une urne contient $n$ boules numérotées de 1 à $n$ . On en tire une et on note $X$ son numéro. Démontre que $E(X) = \frac{n+1}{2}$ .
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5
Un joueur mise 1 € et double sa mise à chaque perte, jusqu'à sa première victoire. Calcule son gain final s'il gagne au $k$ -ième coup, puis explique pourquoi cette stratégie ne rend pas le jeu favorable.
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6
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires d'espérances 3 et 7. Calcule $E(2X + 3Y - 4)$ , en précisant si l'indépendance est nécessaire.
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7
Un jeu propose un gain $X$ d'espérance 2 € et d'écart type 10 €. Un joueur joue 100 parties indépendantes. Calcule l'espérance et l'écart type du gain total, puis commente.
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8
Une variable aléatoire prend les valeurs 0 et 1, avec $P(X = 1) = p$ . Calcule son espérance et sa variance, puis détermine la valeur de $p$ qui rend la variance maximale.
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9
Un sac contient 4 jetons portant les nombres 1, 2, 3 et 6. On en tire deux sans remise et on note $S$ leur somme. Dresse la loi de $S$ et calcule $E(S)$ .
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10
Un restaurant sert en moyenne 80 couverts par soir, avec un écart type de 12. Il gagne 14 € par couvert et paie 700 € de frais fixes. Calcule l'espérance et l'écart type de son bénéfice quotidien.
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