Variables aléatoires et espérance

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1
Un jeu coûte 2 € ; on gagne 5 € avec une probabilité de $0{,}3$ et rien sinon. Dresse la loi du gain algébrique $X$ et calcule $E(X)$ .
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Le gain algébrique tient compte de la mise : $X = 5 - 2 = 3$ en cas de gain, et $X = -2$ sinon.
Loi : $P(X = 3) = 0{,}3$ et $P(X = -2) = 0{,}7$ .
$E(X) = 3 \times 0{,}3 + (-2) \times 0{,}7 = 0{,}9 - 1{,}4 = -0{,}5$ €. Le joueur perd en moyenne 50 centimes par partie.
2
Une variable aléatoire prend les valeurs $-1$ , 0 et 4 avec les probabilités $0{,}2$ , $0{,}5$ et $0{,}3$ . Calcule son espérance.
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$E(X) = (-1) \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}3$ .
$= -0{,}2 + 0 + 1{,}2 = 1$ .
Donc $E(X) = 1$ .
3
On lance deux pièces équilibrées et on note $X$ le nombre de piles obtenus. Dresse la loi de $X$ .
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4
Avec la même expérience de deux pièces et $X$ le nombre de piles, calcule $E(X)$ .
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5
Une variable aléatoire $X$ a pour espérance 6. Calcule l'espérance de $3X + 2$ .
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6
Calcule la variance de la variable aléatoire qui prend la valeur 0 avec une probabilité de $0{,}5$ et la valeur 10 avec une probabilité de $0{,}5$ .
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7
Une loterie vend 1 000 billets à 5 € ; un seul billet gagne 3 000 €. Calcule l'espérance du gain algébrique d'un joueur.
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8
Un jeu rapporte $g$ euros avec une probabilité de $0{,}25$ et fait perdre 3 € sinon. Détermine $g$ pour que le jeu soit équitable.
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9
On tire une carte dans un jeu de 32 et on note $X$ le nombre de points, avec 10 pour un as, 5 pour une figure et 0 sinon. Calcule $E(X)$ .
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10
Explique pourquoi l'espérance d'une variable aléatoire n'est pas forcément une valeur que cette variable peut prendre.
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