Variations et extremums

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1
Une balle lancée vers le haut atteint la hauteur $h(t) = -5t^2 + 20t$ mètres au bout de $t$ secondes. Détermine à quel instant elle est au plus haut, et quelle hauteur elle atteint.
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On factorise : $h(t) = -5t(t - 4)$ , qui s'annule en $t = 0$ et $t = 4$ .
La parabole est symétrique par rapport au milieu de ces deux racines, soit $t = 2$ .
Le coefficient de $t^2$ est négatif, donc le sommet est un maximum : $h(2) = -5 \times 4 + 40 = 20$ mètres, atteint au bout de $2$ secondes.
2
Soit $f(x) = (x - 3)^2 + 1$ . Dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et donne son extremum.
Voir le corrigéoffert
Un carré est toujours positif ou nul, donc $f(x) \geqslant 1$ pour tout $x$ , avec égalité si et seulement si $x = 3$ .
$f$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;\,3]$ et croissante sur $[3\,;\,+\infty[$ .
Son minimum vaut $1$ , atteint en $x = 3$ ; elle n'a pas de maximum.
3
Étudie les variations de la fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ , puis dis si elle admet un minimum sur cet intervalle.
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4
Une fonction $f$ est décroissante sur $[1\,;\,8]$ . On pose $g(x) = f(x) + 4$ . Détermine le sens de variation de $g$ sur $[1\,;\,8]$ .
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5
Une fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,10]$ . On pose $k(x) = -3f(x)$ . Détermine le sens de variation de $k$ sur $[0\,;\,10]$ .
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6
Un rectangle a un périmètre de $40$ cm. On note $x$ sa largeur. Exprime son aire en fonction de $x$ , puis détermine la largeur qui rend cette aire maximale.
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7
Soit $f(x) = \sqrt{x}$ , définie sur $[0\,;\,+\infty[$ . Démontre qu'elle est strictement croissante sur cet intervalle.
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8
Le tableau de variations d'une fonction $f$ sur $[0\,;\,6]$ indique une montée de $f(0) = -1$ à $f(4) = 3$ , puis une descente jusqu'à $f(6) = 2$ . Détermine le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$ sur $[0\,;\,6]$ .
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9
Un atelier fabrique $x$ objets par jour. Son bénéfice, en euros, vaut $B(x) = -x^2 + 60x - 500$ . Détermine la production qui rend le bénéfice maximal, et ce bénéfice.
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10
Dis si une fonction peut avoir deux maximums différents sur un même intervalle, et justifie.
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Maximum, c'est quoi ?Minimum, c'est quoi ?Sens de variation, c'est quoi ?Tableau de variation, c'est quoi ?Fonction croissante, c'est quoi ?Fonction décroissante, c'est quoi ?