Variations et extremums

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1
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 11$ . En utilisant uniquement le taux d'accroissement entre deux réels $a$ et $b$ , détermine les intervalles sur lesquels $f$ est croissante.
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Pour $a \ne b$ , le taux vaut $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{b^2 - a^2 - 6(b - a)}{b - a} = a + b - 6$ .
Ce taux est positif si et seulement si $a + b \geqslant 6$ , c'est-à-dire si $a$ et $b$ sont tous deux supérieurs ou égaux à $3$ .
Donc $f$ est croissante sur $[3\,;\,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty\,;\,3]$ .
2
Soient $f$ et $g$ deux fonctions croissantes sur un intervalle $I$ . Démontre que $f + g$ est croissante sur $I$ , puis donne un exemple montrant que $f \times g$ peut ne pas l'être.
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Si $a < b$ dans $I$ , alors $f(a) \leqslant f(b)$ et $g(a) \leqslant g(b)$ ; en additionnant membre à membre deux inégalités de même sens, $f(a) + g(a) \leqslant f(b) + g(b)$ . Donc $f + g$ est croissante.
Le produit, lui, ne se comporte pas ainsi dès que les valeurs sont négatives : prenons $f(x) = g(x) = x$ sur $I = [-2\,;\,0]$ , toutes deux croissantes.
Leur produit vaut $x^2$ , qui décroît sur $[-2\,;\,0]$ . Le résultat sur le produit n'est vrai que si les deux fonctions sont positives.
3
Soit $f$ une fonction strictement croissante sur un intervalle $I$ . Démontre que l'équation $f(x) = k$ admet au plus une solution dans $I$ , quel que soit le réel $k$ .
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4
Une fonction $f$ vérifie : pour tous réels $x$ et $y$ , $f(x + y) = f(x) + f(y)$ , et $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ . Montre que $f(0) = 0$ , puis que $f(n) = n \times f(1)$ pour tout entier naturel $n$ .
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5
Soit $f$ croissante et positive sur un intervalle $I$ . Détermine le sens de variation de la fonction $h$ définie sur $I$ par $h(x) = \dfrac{1}{f(x) + 1}$ , et démontre-le.
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6
Soit $f$ croissante sur un intervalle $I$ et $g$ décroissante sur $I$ . Démontre que $f - g$ est croissante sur $I$ .
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7
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x}$ . Détermine son sens de variation, après avoir simplifié son écriture.
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8
Soit $f$ définie sur $[a\,;\,c]$ et soit $b$ un réel tel que $a < b < c$ . On suppose $f$ croissante sur $[a\,;\,b]$ et croissante sur $[b\,;\,c]$ . Démontre que $f$ est croissante sur $[a\,;\,c]$ .
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9
Un enclos rectangulaire doit avoir une aire de $36$ m². Détermine les dimensions qui rendent son périmètre minimal, et démontre que ce périmètre ne peut pas être plus petit.
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10
Le tableau de variations de $f$ sur $[-3\,;\,7]$ indique une descente de $f(-3) = 5$ à $f(1) = -2$ , puis une montée jusqu'à $f(7) = 4$ . Résous graphiquement l'inéquation $f(x) \geqslant 0$ , en justifiant chaque étape.
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