Les vecteurs du plan

🟠 Difficile

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1
Démontre que l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ équivaut à l'égalité $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .
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Partons de $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ . En décomposant le second membre par Chasles avec le point $A$ : $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}$ .
L'égalité devient $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}$ , donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ puisque $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}$ .
Or $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ par Chasles : en comparant, on obtient $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ . Les deux égalités traduisent bien la même chose : $ABCD$ est un parallélogramme.
2
Les termes de $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}$ ne se suivent pas : réduis cette expression à un seul vecteur.
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L'addition de vecteurs est commutative : on peut réorganiser les termes.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ , puis deux applications de Chasles donnent $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$ .
La somme vaut donc $\overrightarrow{AD}$ .
3
Le point $M$ vérifie $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}$ . Décris sa position par rapport à $A$ et $B$ .
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4
Explique pourquoi la relation de Chasles reste vraie même si les trois points sont alignés ou confondus.
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5
Dans un triangle $ABC$ , $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ . Exprime $\overrightarrow{IJ}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ .
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6
Simplifie l'expression $2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AB}$ .
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7
Le point $M$ vérifie $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ . Décris sa position.
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8
Dans un parallélogramme $ABCD$ , simplifie la somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ .
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9
Explique pourquoi on peut additionner deux vecteurs, mais pas deux points.
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10
Le point $G$ vérifie $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}$ . Décris sa position.
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