Les vecteurs du plan

Supposons $I$ milieu de $[AB]$ : alors $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{IB}$ ont la même norme, la même direction et des sens opposés, donc leur somme est nulle.
Réciproquement, si $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$, alors $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{AI}$ : les points $A$, $I$, $B$ sont alignés et $AI = IB$, avec $I$ entre $A$ et $B$.
Le point $I$ est donc le milieu de $[AB]$. Les deux propriétés sont bien équivalentes.

Dans un triangle $ABC$, notons $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$. Par Chasles, $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ}$.
Or $\overrightarrow{IA} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, donc $\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
L'égalité $\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ donne d'un coup les deux conclusions : $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$, puisque les vecteurs ont la même direction, et $IJ = \dfrac{BC}{2}$.