Angles, droites et polygones

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1
Montre que la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe vaut toujours 360°, quel que soit son nombre de côtés.
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Pour un polygone à $n$ côtés, chaque angle extérieur est le supplémentaire de l'angle intérieur correspondant.
Somme des angles extérieurs $= n \times 180 - (\text{somme des angles intérieurs})$ .
Or la somme des angles intérieurs vaut $(n - 2) \times 180$ .
Donc la somme des extérieurs vaut $180n - (180n - 360) = 360$ °.
Le résultat ne dépend pas de $n$ : il vaut toujours 360°.
Image : en parcourant le contour, on fait exactement un tour complet sur soi-même.
2
Peut-on paver le plan uniquement avec des pentagones réguliers ? Justifie par un calcul d'angles.
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Pour paver autour d'un point sans trou ni recouvrement, les angles réunis doivent totaliser exactement 360°.
L'angle d'un pentagone régulier vaut $\frac{(5-2) \times 180}{5} = 108$ °.
Je cherche un entier $k$ tel que $108k = 360$ : $k = \frac{360}{108} = 3{,}33\ldots$
Ce n'est pas un entier : trois pentagones laissent un trou de $360 - 324 = 36$ °, et quatre se chevauchent.
On ne peut donc PAS paver le plan avec des pentagones réguliers seuls.
À l'inverse, cela marche avec le triangle équilatéral (60°, six fois), le carré (90°, quatre fois) et l'hexagone régulier (120°, trois fois) — ce sont les seuls.
3
Dans un triangle $ABC$ , la bissectrice de l'angle $\widehat{A}$ et celle de l'angle $\widehat{B}$ se coupent en $I$ . Sachant que $\widehat{A} = 70$ ° et $\widehat{B} = 50$ °, calcule l'angle $\widehat{AIB}$ .
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4
Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle de diamètre 10 cm, l'hypoténuse étant le diamètre. Un côté de l'angle droit mesure 6 cm. Calcule l'autre côté et l'aire du triangle.
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5
Combien de diagonales possède un polygone à 20 côtés ?
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6
Dans un cercle de centre $O$ , deux points $A$ et $B$ sont tels que l'angle $\widehat{AOB}$ mesure 60°. Quelle est la nature du triangle $OAB$ ?
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7
Les angles d'un quadrilatère sont proportionnels à 2, 3, 4 et 6. Calcule-les.
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8
Montre que dans tout triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.
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9
Un polygone régulier a un angle au centre de 24°. Combien a-t-il de côtés, et combien mesure chacun de ses angles intérieurs ?
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10
Dans un triangle $ABC$ , on sait que $\widehat{A} = 2\widehat{B}$ et $\widehat{C} = \widehat{A} + \widehat{B}$ . Détermine les trois angles.
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