Dérivation

Soit $f(x) = 3x^{2} - 2x + 1$ et h un réel non nul.
a) Calcule le taux de variation $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ de f quand x passe de 2 à $2 + h$, et simplifie-le.
b) Vers quel nombre se rapproche-t-il quand h se rapproche de 0 ? Vérifie avec $f'(2)$.

La position d'un mobile sur un axe est $x(t) = -t^{2} + 8t$, en mètres, pour t en secondes dans $[0 \,;\, 8]$.
a) Calcule sa vitesse $v(t)$ et son accélération $a(t)$.
b) À quel instant le mobile fait-il demi-tour, et à quelle position se trouve-t-il alors ?

Soit $h(x) = (2x - 1)^{4}$ définie sur ℝ.
a) Calcule $h'(x)$.
b) Donne l'équation de la tangente à la courbe de h au point d'abscisse 1.

Soit $f(x) = x\cos x$ définie sur ℝ.
a) Calcule $f'(x)$.
b) Donne l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse π.

Un signal vaut $s(t) = 4\cos\left(2t + \frac{\pi}{3}\right)$, t en secondes.
a) Calcule $s'(t)$.
b) Calcule la valeur exacte de $s'(0)$. Le signal augmente-t-il ou diminue-t-il à l'instant $t = 0$ ?

La tension aux bornes d'un générateur est $u(t) = 10\sin(100\pi t)$, en volts, t en secondes.
a) Calcule $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$.
b) Calcule la vitesse de variation de la tension à l'instant $t = 0$, arrondie à l'unité (en V/s).

Soit $g(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ sur $]-1 \,;\, +\infty[$.
a) Calcule $g'(x)$ et déduis-en le sens de variation de g.
b) Donne l'équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0.

Soit $f(x) = x^{3} - 12x$ définie sur ℝ.
a) Calcule $f'(x)$ et factorise-la.
b) Dresse le tableau de variations de f et donne ses extremums locaux.

Lors d'une réaction chimique, la concentration d'un produit est $[P](t) = \frac{2t}{t + 5}$, en mol/L, pour t en minutes.
a) Calcule la vitesse d'apparition $\frac{\mathrm{d}[P]}{\mathrm{d}t}$.
b) Calcule cette vitesse aux instants $t = 0$ et $t = 5$ min. Comment évolue-t-elle ?

Soit $f(x) = \frac{1}{x^{2}}$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Calcule $f'(x)$ à l'aide de la dérivée de l'inverse.
b) Avec l'approximation affine de f en $x_{0} = 1$, donne une valeur approchée de $\frac{1}{1{,}05^{2}}$, puis la valeur de la calculatrice arrondie au millième.