Dérivation

En chauffant, l'arête d'un cube passe de 10 cm à 10,1 cm. On note $V(a) = a^{3}$ son volume, en cm³.
a) Donne $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}a}$.
b) Estime l'augmentation du volume à l'aide de l'approximation affine.
c) Calcule l'augmentation exacte du volume du cube.

Une bobine d'inductance $L = 0{,}2$ H est parcourue par le courant $i(t) = 0{,}5\cos(100\pi t)$, en ampères, t en secondes. La tension à ses bornes est $u(t) = L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$.
a) Calcule $\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$.
b) Exprime $u(t)$.
c) Donne l'amplitude de la tension u, arrondie au dixième de volt.

Un mobile oscille sur un axe : sa position est $x(t) = 3\cos(2t)$, en mètres, pour t en secondes.
a) Calcule sa vitesse $v(t)$ et son accélération $a(t)$.
b) Montre que $a(t) = -4x(t)$ pour tout t.
c) Détermine le premier instant $t > 0$ où la vitesse s'annule, et la position du mobile à cet instant.
d) Quelle est la plus grande valeur absolue de la vitesse du mobile ?

Lors d'une réaction, la concentration d'un réactif est $[A](t) = \frac{0{,}8}{1 + 0{,}4t}$, en mol/L, pour t en minutes. Sa vitesse de disparition est $-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}$.
a) Calcule $\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}$ et déduis-en le sens de variation de la concentration.
b) Calcule la vitesse de disparition à $t = 0$, puis à $t = 5$ min (arrondie au dix-millième).
c) À quel instant la vitesse de disparition vaut-elle le quart de sa valeur initiale ?

Soit $f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}$ sur $]1 \,;\, +\infty[$.
a) Calcule $f'(x)$ et écris-la sous forme factorisée.
b) Étudie le signe de $f'(x)$ sur $]1 \,;\, +\infty[$.
c) Détermine le minimum de f sur $]1 \,;\, +\infty[$ et la valeur de x où il est atteint.

On fabrique une boîte sans couvercle, à base carrée de côté x dm, de volume 4 dm³. On note h sa hauteur, en dm.
a) Exprime la hauteur h en fonction de x, puis montre que la surface de carton utilisée est $S(x) = x^{2} + \frac{16}{x}$, pour $x > 0$.
b) Calcule $S'(x)$ et étudie son signe.
c) Détermine les dimensions de la boîte dont la surface de carton est minimale, et la valeur de cette surface.

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = x^{2}$, et A le point de coordonnées $(1 \,;\, -3)$.
a) Donne l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a, sous la forme $y = mx + p$.
b) Écris la condition sur a pour que cette tangente passe par A.
c) Détermine les équations des tangentes à la courbe de f qui passent par le point A.

Un générateur de force électromotrice 12 V et de résistance interne 2 Ω alimente une résistance R (en ohms). La puissance reçue par R est $P(R) = \frac{144R}{(R + 2)^{2}}$, en watts, pour $R \ge 0$.
a) Calcule $P'(R)$ et montre que $P'(R) = \frac{144(2 - R)}{(R + 2)^{3}}$.
b) Dresse le tableau de variations de P sur $[0 \,;\, +\infty[$.
c) Pour quelle résistance R la puissance reçue est-elle maximale, et que vaut cette puissance ?

Soit $f(x) = x + 2\cos x$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 2\pi]$.
a) Calcule $f'(x)$.
b) Résous l'équation $f'(x) = 0$ sur $[0 \,;\, 2\pi]$.
c) Étudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de f.
d) Donne les extremums locaux de f sur $[0 \,;\, 2\pi]$, en valeur exacte puis arrondis au centième.

Soit f la fonction définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x}$, et a un réel strictement positif.
a) Donne l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
b) Détermine les coordonnées des points où cette tangente coupe l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
c) Montre que l'aire du triangle formé par une tangente à la courbe de f et les deux axes du repère ne dépend pas du point de contact, et donne cette aire.