Nombres complexes : forme algébrique

On pose $z = 2 - 3i$.
a) Calcule $z + \overline{z}$ et $z - \overline{z}$.
b) Calcule $z\,\overline{z}$ et vérifie que ce nombre est égal à $|z|^{2}$.

On pose $z_{1} = 1 + 2i$ et $z_{2} = 3 - i$.
a) Écris le produit $z_{1}z_{2}$ sous forme algébrique.
b) Écris le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ sous forme algébrique.

Les points A, B et C ont pour affixes $z_{A} = 2 + i$, $z_{B} = 5 + 2i$ et $z_{C} = 4 + 6i$.
a) Détermine l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
b) Détermine l'affixe du centre de ce parallélogramme.

On pose $z = (1 - 2i)^{2}$.
a) Écris z sous forme algébrique.
b) Calcule $|z|$ de deux façons : à partir de la forme algébrique, puis avec le module d'un produit.

En électricité, on note j le nombre tel que $j^{2} = -1$. Deux dipôles ont pour impédances $Z_{1} = 4 + 3j$ et $Z_{2} = 2 - 6j$, en ohms.
a) Calcule l'impédance $Z = Z_{1} + Z_{2}$ de leur montage en série, puis son module, arrondi au centième.
b) Écris le produit $Z_{1}Z_{2}$ sous forme algébrique.

On s'intéresse aux puissances successives de i.
a) Calcule la somme $i + i^{2} + i^{3} + i^{4}$.
b) Calcule $S = i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{20}$.

On pose $z = \dfrac{3 + 2i}{1 - i}$.
a) Écris z sous forme algébrique.
b) Donne $\overline{z}$, puis retrouve-le en calculant $\dfrac{\overline{3 + 2i}}{\overline{1 - i}}$.

Soit M le point d'affixe $z = x + iy$, avec x et y réels.
a) Exprime en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de $(1 + i)z$.
b) Détermine l'ensemble des points M pour lesquels $(1 + i)z$ est un réel.

Le point A a pour affixe $z_{A} = 3 - 2i$ et le point I a pour affixe $z_{I} = 1 + i$.
a) Détermine l'affixe du point B tel que I soit le milieu du segment [AB].
b) Calcule la valeur exacte de la distance AB.

On pose $z = 1 + 2i$.
a) Écris $z^{2}$ et $z^{3}$ sous forme algébrique.
b) Vérifie que $|z^{3}| = |z|^{3}$.