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Nombres complexes : forme algébrique

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  1. 1

    Écris sous forme algébrique (3−2i)2(3 - 2i)^{2}.

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    On utilise (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} avec a=3a = 3 et b=2ib = 2i.
    (3−2i)2=9−12i+(2i)2=9−12i+4i2(3 - 2i)^{2} = 9 - 12i + (2i)^{2} = 9 - 12i + 4i^{2}.
    Or 4i2=−44i^{2} = -4.
    Résultat : (3−2i)2=5−12i(3 - 2i)^{2} = 5 - 12i.

  2. 2

    Calcule le produit (4+5i)(4−5i)(4 + 5i)(4 - 5i). Quelle est la nature du résultat ?

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    On reconnaît z×z‾z \times \overline{z} avec z=4+5iz = 4 + 5i, ou l'identité (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}.
    (4+5i)(4−5i)=16−(5i)2=16−25i2=16+25=41(4 + 5i)(4 - 5i) = 16 - (5i)^{2} = 16 - 25i^{2} = 16 + 25 = 41.
    Le résultat est un réel positif : c'est ∣z∣2=42+52|z|^{2} = 4^{2} + 5^{2}.

  3. 3

    Écris sous forme algébrique le quotient 52−i\dfrac{5}{2 - i}.

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  4. 4

    Écris sous forme algébrique le quotient 3+i1+2i\dfrac{3 + i}{1 + 2i}.

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  5. 5

    Les points A et B ont pour affixes zA=−1+2iz_{A} = -1 + 2i et zB=3+4iz_{B} = 3 + 4i. Calcule l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} et l'affixe du milieu I du segment [AB].

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  6. 6

    Les points A et B ont pour affixes zA=2−iz_{A} = 2 - i et zB=−1+3iz_{B} = -1 + 3i. Calcule la distance AB.

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  7. 7

    Calcule i21i^{21} et i102i^{102}.

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  8. 8

    Sans développer le produit, calcule la valeur exacte du module de z=(2−i)(6+8i)z = (2 - i)(6 + 8i).

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  9. 9

    Sans écrire le quotient sous forme algébrique, calcule le module de z=5+12i3−4iz = \dfrac{5 + 12i}{3 - 4i}.

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  10. 10

    Soit m un réel et z=(m−3)+(2m+1)iz = (m - 3) + (2m + 1)i. Pour quelle valeur de m le nombre z est-il imaginaire pur ? Pour quelle valeur est-il réel ?

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