Nombres complexes : forme algébrique

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1
Écris sous forme algébrique $(3 - 2i)^{2}$ .
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On utilise $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ avec $a = 3$ et $b = 2i$ .
$(3 - 2i)^{2} = 9 - 12i + (2i)^{2} = 9 - 12i + 4i^{2}$ .
Or $4i^{2} = -4$ .
Résultat : $(3 - 2i)^{2} = 5 - 12i$ .
2
Calcule le produit $(4 + 5i)(4 - 5i)$ . Quelle est la nature du résultat ?
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On reconnaît $z \times \overline{z}$ avec $z = 4 + 5i$ , ou l'identité $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ .
$(4 + 5i)(4 - 5i) = 16 - (5i)^{2} = 16 - 25i^{2} = 16 + 25 = 41$ .
Le résultat est un réel positif : c'est $|z|^{2} = 4^{2} + 5^{2}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Écris sous forme algébrique le quotient $\dfrac{5}{2 - i}$ .
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4
Écris sous forme algébrique le quotient $\dfrac{3 + i}{1 + 2i}$ .
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5
Les points A et B ont pour affixes $z_{A} = -1 + 2i$ et $z_{B} = 3 + 4i$ . Calcule l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et l'affixe du milieu I du segment [AB].
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6
Les points A et B ont pour affixes $z_{A} = 2 - i$ et $z_{B} = -1 + 3i$ . Calcule la distance AB.
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7
Calcule $i^{21}$ et $i^{102}$ .
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8
Sans développer le produit, calcule la valeur exacte du module de $z = (2 - i)(6 + 8i)$ .
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9
Sans écrire le quotient sous forme algébrique, calcule le module de $z = \dfrac{5 + 12i}{3 - 4i}$ .
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10
Soit m un réel et $z = (m - 3) + (2m + 1)i$ . Pour quelle valeur de m le nombre z est-il imaginaire pur ? Pour quelle valeur est-il réel ?
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