Nombres complexes : forme algébrique

En électricité, on note j le nombre tel que $j^{2} = -1$. Un dipôle d'impédance $Z_{1} = 5 + 2j$ est monté en série avec un dipôle d'impédance $Z_{2} = R + jX$, où R et X sont des réels et $R \ge 0$. L'impédance du montage est $Z = Z_{1} + Z_{2}$.
a) Exprime la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de R et X.
b) Quelle valeur faut-il donner à X pour que Z soit un réel ?
c) Avec cette valeur de X, détermine R pour que $|Z| = 10$.
d) Calcule le module de l'impédance $Z_{2}$ obtenue, arrondi au centième.

On considère le nombre complexe $z = \dfrac{(1 + i)^{4}(3 - 4i)}{(2 + i)^{2}}$.
a) Calcule $|1 + i|$, $|3 - 4i|$ et $|2 + i|$.
b) Déduis-en la valeur exacte de $|z|$.
c) Écris z sous forme algébrique, et contrôle la valeur de son module.

Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C et D d'affixes $z_{A} = -2 + i$, $z_{B} = 2 - i$, $z_{C} = 3 + i$ et $z_{D} = -1 + 3i$.
a) Montre que les segments [AC] et [BD] ont le même milieu.
b) Calcule les longueurs AC et BD.
c) Calcule les longueurs AB et AD.
d) Quelle est la nature exacte du quadrilatère ABCD ? Justifie.
e) Calcule l'aire du quadrilatère ABCD.

Dans le plan complexe, les points A, B et C ont pour affixes $z_{A} = 1 + 2i$, $z_{B} = 4 + 3i$ et $z_{C} = -1 + 8i$.
a) Calcule AB, AC et BC.
b) Montre que le triangle ABC est rectangle, en précisant le sommet de l'angle droit.
c) Détermine l'affixe du centre du cercle passant par A, B et C, puis son rayon, en valeur exacte et arrondi au centième.

Soit a un réel. On pose $Z = \dfrac{2 + ai}{1 - i}$.
a) Écris Z sous forme algébrique, en fonction de a.
b) Détermine la valeur de a pour laquelle Z est un réel, et donne alors Z.
c) Détermine la valeur du réel a pour laquelle Z est imaginaire pur, et donne alors Z.

Pour tout entier naturel n, on pose $S_{n} = 1 + i + i^{2} + \dots + i^{n}$.
a) Calcule $S_{0}$, $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ et $S_{4}$.
b) Justifie que, pour tout entier naturel n, $S_{n+4} = S_{n}$.
c) Calcule $S_{2026}$.

On cherche l'ensemble des points M d'affixe z tels que $|z - (2 - i)| = 3$.
a) Interprète $|z - (2 - i)|$ comme une distance entre deux points.
b) Déduis-en la nature de cet ensemble.
c) Le point d'affixe $5 - i$ appartient-il à cet ensemble ? Et le point d'affixe $4 + i$ ?
d) Détermine les affixes des points de cet ensemble situés sur l'axe réel, en valeurs exactes.

Soit M le point d'affixe $z = x + iy$, avec x et y réels.
a) Exprime la partie réelle et la partie imaginaire de $z^{2}$ en fonction de x et y.
b) Détermine l'ensemble des points M d'affixe z tels que $z^{2}$ soit un réel.
c) Détermine l'ensemble des points M d'affixe z tels que $z^{2}$ soit imaginaire pur.

Soit z un nombre complexe quelconque. On pose $A = z^{2} + \overline{z}^{2}$ et $B = z^{2} - \overline{z}^{2}$.
a) Justifie que le conjugué de $z^{2}$ est $\overline{z}^{2}$.
b) Exprime $\overline{A}$ en fonction de A, et $\overline{B}$ en fonction de B.
c) Justifie que A est un réel et que B est un imaginaire pur.
d) Calcule A et B lorsque $z = 2 + 3i$.

Soit z un nombre complexe de module 1, différent de 1. On pose $Z = \dfrac{1 + z}{1 - z}$.
a) Montre que $z\,\overline{z} = 1$, puis que $\overline{z} = \dfrac{1}{z}$.
b) Montre que $\overline{Z} = -Z$.
c) Quelle est la nature du nombre Z ?
d) Écris Z sous forme algébrique lorsque $z = 0{,}6 + 0{,}8i$.