Nombres complexes : forme algébrique

🔴 Expert

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

1
En électricité, on note j le nombre tel que $j^{2} = -1$ . Un dipôle d'impédance $Z_{1} = 5 + 2j$ est monté en série avec un dipôle d'impédance $Z_{2} = R + jX$ , où R et X sont des réels et $R \ge 0$ . L'impédance du montage est $Z = Z_{1} + Z_{2}$ .
Calcule le module de l'impédance $Z_{2}$ obtenue, arrondi au centième.
Voir le corrigéoffert
a) $Z = (5 + R) + (2 + X)j$ , donc $\mathrm{Re}(Z) = 5 + R$ et $\mathrm{Im}(Z) = 2 + X$ .
b) Z est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle : $2 + X = 0$ , soit $X = -2$ .
c) Alors $Z = 5 + R$ , qui est positif puisque $R \ge 0$ . Donc $|Z| = 5 + R = 10$ , soit $R = 5$ .
d) $Z_{2} = 5 - 2j$ et $|Z_{2}| = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$ Ω.
2
On considère le nombre complexe $z = \dfrac{(1 + i)^{4}(3 - 4i)}{(2 + i)^{2}}$ .
Écris z sous forme algébrique, et contrôle la valeur de son module.
Voir le corrigéoffert
a) $|1 + i| = \sqrt{2}$ ; $|3 - 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; $|2 + i| = \sqrt{5}$ .
b) Avec les modules d'un produit et d'un quotient : $|z| = \dfrac{(\sqrt{2})^{4} \times 5}{(\sqrt{5})^{2}} = \dfrac{4 \times 5}{5} = 4$ .
c) $(1 + i)^{2} = 2i$ , donc $(1 + i)^{4} = (2i)^{2} = -4$ . Et $(2 + i)^{2} = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$ .
$z = \dfrac{-4(3 - 4i)}{3 + 4i} = \dfrac{-4(3 - 4i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \dfrac{-4(-7 - 24i)}{25} = \dfrac{28 + 96i}{25}$ .
Donc $z = 1{,}12 + 3{,}84i$ .
Contrôle : $|z| = \dfrac{\sqrt{28^{2} + 96^{2}}}{25} = \dfrac{\sqrt{10000}}{25} = \dfrac{100}{25} = 4$ .
3
Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C et D d'affixes $z_{A} = -2 + i$ , $z_{B} = 2 - i$ , $z_{C} = 3 + i$ et $z_{D} = -1 + 3i$ .
Calcule l'aire du quadrilatère ABCD.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Dans le plan complexe, les points A, B et C ont pour affixes $z_{A} = 1 + 2i$ , $z_{B} = 4 + 3i$ et $z_{C} = -1 + 8i$ .
Détermine l'affixe du centre du cercle passant par A, B et C, puis son rayon, en valeur exacte et arrondi au centième.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
Soit a un réel. On pose $Z = \dfrac{2 + ai}{1 - i}$ .
Détermine la valeur du réel a pour laquelle Z est imaginaire pur, et donne alors Z.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Pour tout entier naturel n, on pose $S_{n} = 1 + i + i^{2} + \dots + i^{n}$ .
Calcule $S_{2026}$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
On cherche l'ensemble des points M d'affixe z tels que $|z - (2 - i)| = 3$ .
Détermine les affixes des points de cet ensemble situés sur l'axe réel, en valeurs exactes.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
Soit M le point d'affixe $z = x + iy$ , avec x et y réels.
Détermine l'ensemble des points M d'affixe z tels que $z^{2}$ soit imaginaire pur.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Soit z un nombre complexe quelconque. On pose $A = z^{2} + \overline{z}^{2}$ et $B = z^{2} - \overline{z}^{2}$ .
Calcule A et B lorsque $z = 2 + 3i$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Soit z un nombre complexe de module 1, différent de 1. On pose $Z = \dfrac{1 + z}{1 - z}$ .
Écris Z sous forme algébrique lorsque $z = 0{,}6 + 0{,}8i$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

Et maintenant ?

Examen du chapitreTeste-toi, noté /20

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Chapitre suivant : Nombres complexes : argument et forme trigonométriqueOn continue le programme

← Changer de niveau