Nombres complexes : argument et forme trigonométrique

Pour un réel $k \neq 2$, on pose $z_{k} = (k - 2) + (k - 2)i$.
Donne, suivant les valeurs du réel $k \neq 2$, le module et un argument de $z_{k}$.

Soit $z = -4 + 3i$.
Donne une valeur approchée au centième, en radians, d'un argument de $\overline{z}$, de $-z$ et de $-\overline{z}$.

Le point M a pour affixe $z = -5 - 2i$.
Donne une valeur approchée au dixième de degré d'un argument de $-z$.

Les points A, B et C ont pour affixes $z_{A} = 4\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$, $z_{B} = 4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right)$ et $z_{C} = 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$.
Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifie.

Un phare est placé à l'origine d'un repère orthonormé, d'unité le kilomètre, dont l'axe réel pointe vers l'est. Un premier bateau est à 6 km du phare, dans la direction faisant un angle de $\frac{\pi}{4}$ avec l'est ; un second bateau est à 4 km du phare, dans la direction faisant un angle de $\frac{3\pi}{4}$ avec l'est.
Calcule la distance entre les deux bateaux, en valeur exacte puis arrondie au centième de kilomètre.

Une tension s'écrit $u(t) = A\cos(100\pi t + \varphi)$, t en secondes, avec $A > 0$ et $\varphi \in \,]-\pi \,;\, \pi]$. Elle est représentée par le nombre complexe $U = A(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, et l'on sait que $U = -6 + 6\sqrt{3}\,i$.
Calcule $u(0)$ et $u(0{,}01)$.

On cherche les points M d'affixe z situés à la fois sur le cercle de centre O et de rayon 4 et sur la droite d'équation $y = -2$.
Détermine les affixes de ces points, sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique.

Soit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$ et $\theta \in \,\left]0 \,;\, \frac{\pi}{2}\right[$. Les points M, N, P et Q ont pour affixes z, $\overline{z}$, $-z$ et $-\overline{z}$.
Pour quelle valeur de θ le quadrilatère MQPN est-il un carré ? Justifie.

En électricité, deux tensions de même pulsation sont représentées par les nombres complexes $Z_{1}$, de module 8 et d'argument $\frac{\pi}{6}$, et $Z_{2}$, de module 6 et d'argument $-\frac{\pi}{2}$. La tension totale est représentée par $Z_{1} + Z_{2}$.
Donne le module de $Z_{1} + Z_{2}$, arrondi au centième, et un argument de $Z_{1} + Z_{2}$, arrondi au centième de radian.

On note Γ l'ensemble des points M d'affixe z tels que $|z - 2i| = 2$, et D l'ensemble des points M d'affixe z non nulle tels que $\arg(z) = \frac{\pi}{6}$ à $2\pi$ près.
Détermine, sous forme algébrique, l'affixe du point commun à Γ et à D.