Nombres complexes : argument et forme trigonométrique

Pour un réel $k \neq 2$, on pose $z_{k} = (k - 2) + (k - 2)i$.
a) Écris $z_{5}$ sous forme trigonométrique.
b) Écris $z_{-1}$ sous forme trigonométrique.
c) Donne, suivant les valeurs du réel $k \neq 2$, le module et un argument de $z_{k}$.

Soit $z = -4 + 3i$.
a) Calcule $|z|$.
b) Donne une valeur approchée au centième, en radians, d'un argument θ de z.
c) Donne une valeur approchée au centième, en radians, d'un argument de $\overline{z}$, de $-z$ et de $-\overline{z}$.

Le point M a pour affixe $z = -5 - 2i$.
a) Calcule $|z|$, en valeur exacte puis arrondie au centième.
b) Donne une valeur approchée au millième de l'argument principal de z, en radians.
c) Donne une valeur approchée au dixième de degré d'un argument de $-z$.

Les points A, B et C ont pour affixes $z_{A} = 4\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$, $z_{B} = 4\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right)$ et $z_{C} = 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$.
a) Écris ces trois affixes sous forme algébrique.
b) Justifie que A, B et C sont sur un même cercle, que tu préciseras.
c) Calcule les distances AB, BC et CA.
d) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifie.

Un phare est placé à l'origine d'un repère orthonormé, d'unité le kilomètre, dont l'axe réel pointe vers l'est. Un premier bateau est à 6 km du phare, dans la direction faisant un angle de $\frac{\pi}{4}$ avec l'est ; un second bateau est à 4 km du phare, dans la direction faisant un angle de $\frac{3\pi}{4}$ avec l'est.
a) Écris sous forme trigonométrique les affixes $z_{1}$ et $z_{2}$ des deux bateaux.
b) Écris ces affixes sous forme algébrique.
c) Calcule la distance entre les deux bateaux, en valeur exacte puis arrondie au centième de kilomètre.

Une tension s'écrit $u(t) = A\cos(100\pi t + \varphi)$, t en secondes, avec $A > 0$ et $\varphi \in \,]-\pi \,;\, \pi]$. Elle est représentée par le nombre complexe $U = A(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, et l'on sait que $U = -6 + 6\sqrt{3}\,i$.
a) Détermine l'amplitude A.
b) Détermine la phase à l'origine φ.
c) Calcule $u(0)$ et $u(0{,}01)$.

On cherche les points M d'affixe z situés à la fois sur le cercle de centre O et de rayon 4 et sur la droite d'équation $y = -2$.
a) Que vaut $|z|$ pour de tels points ?
b) Détermine les arguments principaux possibles de z.
c) Détermine les affixes de ces points, sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique.

Soit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$ et $\theta \in \,\left]0 \,;\, \frac{\pi}{2}\right[$. Les points M, N, P et Q ont pour affixes z, $\overline{z}$, $-z$ et $-\overline{z}$.
a) Donne un argument de $\overline{z}$, de $-z$ et de $-\overline{z}$ en fonction de θ.
b) Justifie que M, N, P et Q sont sur un même cercle, que tu préciseras.
c) Pour quelle valeur de θ le quadrilatère MQPN est-il un carré ? Justifie.

En électricité, deux tensions de même pulsation sont représentées par les nombres complexes $Z_{1}$, de module 8 et d'argument $\frac{\pi}{6}$, et $Z_{2}$, de module 6 et d'argument $-\frac{\pi}{2}$. La tension totale est représentée par $Z_{1} + Z_{2}$.
a) Écris $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme algébrique.
b) Calcule $Z_{1} + Z_{2}$.
c) Donne le module de $Z_{1} + Z_{2}$, arrondi au centième, et un argument de $Z_{1} + Z_{2}$, arrondi au centième de radian.

On note Γ l'ensemble des points M d'affixe z tels que $|z - 2i| = 2$, et D l'ensemble des points M d'affixe z non nulle tels que $\arg(z) = \frac{\pi}{6}$ à $2\pi$ près.
a) Décris l'ensemble Γ.
b) Décris l'ensemble D.
c) Le point O appartient-il à Γ ? À D ?
d) Détermine, sous forme algébrique, l'affixe du point commun à Γ et à D.